1、84直线和圆锥曲线的位置关系一、明确复习目标1掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题;2会运用“设而不求解决相交弦长问题及中点弦问题;3会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题 掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法;4会用弦长公式|AB|=|x2x1|求弦的长；5会利用“设点代点、设而不求的方法求弦所在直线的方程如中点弦、相交弦等、弦的中点的轨迹等二建构知识网络1直线与圆锥曲线的位置关系主要是：公共点、相交弦或焦点弦问题以及它们的综合运用2直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：可以转化为它们所
2、对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，运用韦达定理,中点公式,设而不求时必须0,必须注意解的存在性和转化的等价性，用好化归与等价转化思想当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，消元后得到的是一元一次方程,只有一个解,即直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点3 涉及到圆锥曲线焦点弦、焦半径的问题，首先考虑第二定义和焦半径公式。4涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题：相交弦的长，弦所在直线的方程、弦的中点的轨迹等，这可以利用“点差法，“设而不求、 韦达定理、整体代入等方法求解。5弦长公式：圆锥曲线与直线交于A(x1，
3、y1)，B(x2，y2)，那么弦长 ；与直线 A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么弦长 三、双基题目练练手1(2023全国I)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，假设过点Q的直线l与抛物线有公共点，那么直线l 的斜率的取值范围是 A，B2，2C1，1D4，42(2023全国)抛物线上的点到直线距离的最小值是 ( )A B C D 3(2023福建)双曲线的右焦点为F，假设过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是( )ABCD4(2023山东)抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，那么的最小值是 。5(2023上海) 假设曲线|1与直线没有公共
4、点，那么、分别应满足的条件是 6双曲线=1a0，b0上任意一点到它的两条渐近线的距离之积等于_简答：1-3。CAC; 4 32; 5 作出函数的图象，如以下图： 所以，；6设Px0，y0那么d1d2=四、经典例题做一做【例1】求过点0，2的直线被椭圆x22y22所截弦的中点的轨迹方程解：设直线方程为y=kx+2，把它代入x22y22，整理得2k21x2+8kx+6=0要使直线和椭圆有两个不同交点，那么0，即k或k设直线与椭圆两个交点为Ax1，y1、Bx2，y2，中点坐标为Cx，y，那么x，y= +2k或k，从参数方程 x=，y= 消去k得x22y122，且x，0y【例2】(2023江西文)如图
5、，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB 1假设M为定点，证明：直线EF的斜率为定值； 2假设M为动点，且EMF=90，求EMF的重心G的轨迹方程MABFEOyx解：1设My,y0，直线ME的斜率为k(l0)那么直线MF的斜率为k，消所以直线EF的斜率为定值2同理可得设重心Gx, y，那么有【例3】2023浙江如图，椭圆1ab0与过点A2，0B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e= ()求椭圆方程；()设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段的中点，求证：ATM=AFTABFFMTOyx解：I过点、的直线方程为因为由题意得 有惟一解，
6、即有惟一解，所以 ，故 又因为 即 所以 从而得 故所求的椭圆方程为 II由I得 故从而由解得所以 因为又得因此【例4】椭圆C：1ab0，两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B1假设k，求椭圆C的离心率的取值范围；2假设k=，A、B到右准线距离之和为，求椭圆C的方程解：1设右焦点F2c，0，那么l：y=kxc令x=0，那么y=ck，P0，ckB为F2P的中点，B，B在椭圆上，1k214e2e25k，e255e24e250e21e12k，ea2c2，b2c2椭圆方程为1，即x25y2c2直线l方程为y=xc，B，c
7、，右准线为x=c设Ax0，y0，那么cx0c，x02c，y0cA在椭圆上，2c25c2c2解之得c=2或c不合题意，舍去椭圆方程为x25y25，即y21【研讨欣赏】(2023山东)双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。1求双曲线C的方程； 2过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点Q点与C的顶点不重合，当，且时，求点的坐标。解：设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 解得 ，双曲线的方程为PBQAOxy解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程：，那么在双曲线上，同理有：假设那么直线过顶点，不合题意是二次方程的两根，此时所求的坐标为解
8、法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程，那么，分的比为由定比分点坐标公式得下同解法一解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程：，那么，又，即将代入得，否那么与渐近线平行。解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，那么,。同理即。x又消去y得当时，那么直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。由韦达定理有：代入x式得所求Q点的坐标为。五提炼总结以为师1解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，一般是消元得到一元二次方程，再讨论二次项的系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便2涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否那
9、么不宜用此法3求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式d=再结合韦达定理,设而不求整体解决焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化4涉及到圆锥曲线焦点弦、焦半径问题，可以利用焦半径公式或圆锥曲线的第二定义，应掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法同步练习 84直线和圆锥曲线的位置关系 【选择题】1假设双曲线x2y21的右支上一点Pa，b到直线y=x的距离为，那么a+b的值为 A B C D22对kR，直线ykx1=0与椭圆+=1恒有公共点，那么实数m的取值范围是A0，1 B0，5C1，55，+ D1，532023辽宁直线与曲线 的公共点的个数为 A1B2C3D44直线y=x+3与曲线 A
10、没有交点 B只有一个交点 C有两个交点 D有三个交点【填空题】54，2是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，那么l的方程是_6过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，|AB|=8，O为坐标原点，那么OAB的重心的横坐标为_简答提示：1-4BCDD;1Pa，b点在双曲线上，那么有a2b2=1，即a+bab=1d=， |ab|=2又P点在右支上，那么有ab， ab=2|a+b|2=1，a+b=2直线ykx1=0恒过点0，1，仅当点0，1在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点所以，1且m0，得m1故此题应选C4当x0时，双曲线的渐近线为：，而直线y=x+3的斜率为1，10因此直线与
11、椭圆左半局部有一交点，共计3个交点，选D5设直线l与椭圆交于P1x1，y1、P2x2，y2，将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k= =由点斜式可得l的方程为x+2y8=0答案：x+2y8=06设过焦点F1，0的直线为y=kx1k0，Ax1，y1，Bx2，y2代入抛物线方程消去y得k2x22k2+2x+k2=0k20，x1+x2=，|AB|=x1+x2+2=8, x1+x2=6 可得k2=1OAB的重心的横坐标为x=2法2： 由|AB|=8， 得k2=1【解答题】7 正方形ABCD中，一条边AB在直线y=x+4上，另外两顶点C、D在抛物线y2x上，求正方形的面积解：设CD所在直线的方程为y=x+t，消去y得 y=x+t， y2=x， x2+2t1x+t2=0，CD又直线AB与CD间距离为AD，ADCD，t=2或6从而边长为3或5面积S13218，S2=52=508(2023上海) 在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点 1求证：“如果直线过点T3，0，那么3”是真命题；2写出1中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由 解1设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2) 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于