1、第二章 函数四 函数的综合应用【考点阐述】函数的综合应用【考试要求】应用函数知识思想解决一些简单的实际问题。【考题分类】一选择题共8题1.福建卷理4文7函数的零点个数为A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以函数有两个零点，选C。【命题意图】此题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。2.湖南卷理8用表示a，b两数中的最小值。假设函数的图像关于直线x=对称，那么t的值为A-2 B2 C-1 D1 【命题意图】此题通过新定义考察学生的创新能力，考察函数的图象，考察考生数形结合的能力，属中档题。3.全国新卷理11文12函数假设互不相等，且那么的取值范围是(
2、A) (B) (C) (D) 【答案】C 解析：不妨设，取特例，如取，那么易得，从而，选C另解：不妨设，那么由，再根据图像易得，应选C4.山东卷理11文11函数y=2xx2的图像大致是【答案】A【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -=，故排除D，所以选A。【命题意图】此题考查函数的图象，考查同学们对函数根底知识的把握程度以及数形结合的思维能力。5.陕西卷理10文10某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x( x表示不大于
3、x的最大整数)可以表示为 【 】A. B. C. D. 【答案】B【解析】方法一当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时,当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时，故综上知，必有,应选.6.天津卷理2函数f(x)=的零点所在的一个区间是 (A)-2，-1 (B)-1,0 (C)0,1 (D)1,2【答案】B【解析】因为，所以选B。【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理，属根底题。7.天津卷文4函数fx= (A)-2,-1 (B) -1,0 (C) 0,1 (D) 1,2【答案】C【解析】因为，所以选C。【命题意图】本小题考查函数根的存在性定理，属根底题。8.浙江卷文9x是函数f(x)=2
4、 x+ 的一个零点，假设1，+，那么Af()0，f()0 Bf()0，f()0Cf()0，f()0 Df()0，f()0解析：选B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题二填空题共7题1.北京卷理14如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点px，y的轨迹方程是，那么的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。说明：“正方形PABC沿轴滚动包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。【答案】4，解析：不
5、难想象，从某一个顶点比方A落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4。下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90，然后以C为圆心，再旋转90，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：2. 北京卷文14如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点px，y的纵坐标与横坐标的函数关系是，那么的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。说
6、明：“正方形PABC沿x轴滚动包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。3.江苏卷14将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,那么S的最小值是_【答案】 解析 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为，那么：方法一利用函数的方法求最小值。令，那么：故当时，S的最小值是。方法二利用导数求函数最小值。，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是。4.全国卷理15直线与曲线有四个交
7、点，那么的取值范围是 【答案】(1,【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.y=1xyaO【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线,观图可知，a的取值必须满足解得.5.天津卷理16设函数，对任意，恒成立，那么实数的取值范围是 .【答案】【解析】由题意知：在上恒成立，在上恒成立，当时，函数取得最小值，所以，即解得或。【命题意图】此题考查函数中的恒成立问题，考查化归与转化的数学思想。6.天津卷文16设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，那么实数m的取值范围是_【答案】【解析】因为对任意x，恒成立，所以当时，有对任意x恒成立，即，解得，即；当时，
8、有对任意x恒成立，x无解，综上所述实数m的取值范围是。【命题意图】此题考查函数中的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想。7.重庆卷理15函数满足：，那么=_.【答案】解析：取x=1 y=0得法一：通过计算，寻得周期为6法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= f(n-1) 所以T=6 故=f(0)= .三解答题共3题1.广东卷文20函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式.1求，的值；2写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；3求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. w_wxw.k_s_5 u.cxoxm2当时，当时，当时，f(x)= c. 当时，此时：2.湖南卷理20函数对任意的，恒有。证明：当时，；假设对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值。3.上海春卷20函数，且 1假设函数的反函数是其本身，求a的值； 2当时，求函数的最大值。