1、第十三节 定积分与微积分根本定理理题组一定积分的计算f(x)为偶函数且f(x)dx8，那么f(x)dx等于 ()A0 B4 C8 D16解析：原式f(x)dxf(x)dx，原函数为偶函数，在y轴两侧的图象对称，对应的面积相等，即8216.答案：D2设f(x)那么f(x)dx等于 ()A. B. C. D不存在解析：数形结合，f(x)dx=x2dx+(2-x)dx=.答案：C3计算以下定积分：(1) (2x2)dx；(2)()2dx；(3)(sinxsin2x)dx；解：(1) (2x2)dx(x3lnx)ln 2ln 2.(2)()2dx(x2)dx(x2lnx2x)(ln 36)(2ln 2
2、4)ln.(3) (sinxsin2x)dx(cosxcos2x)()(1).题组二求曲多边形的面积4如图，函数yx22x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影局部)，那么该闭合图形的面积是 ()A1 B. C. D2解析：函数yx22x1与y1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于(x22x11)dx(x22x)dx.答案：B5函数yx2与ykx(k0)的图象所围成的阴影局部(如以下图)的面积为，那么k_.解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为0，k，再由(kxx2)dx()求得k2.答案：26如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线
3、yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1，S2，假设S1S2，那么点P的坐标为_解析：设直线OP的方程为ykx, P点的坐标为(x，y)，那么(kxx2)dx(x2kx)dx，即(kx2x3)(x3kx2)，解得kx2x32k(x3kx2)，解得k，即直线OP的方程为yx，所以点P的坐标为(，)答案：(，)题组三定积分在物理中的应用v(t)t2t2，质点作直线运动，那么此物体在时间1,2内的位移为 ()A.B. C. D.解析：s(t2t2)dt(t3t22t)|.答案：A8假设1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，那么需要花费的功为()A0.05 J B0.5 J C0
4、.25 J D1 J解析：设力Fkx(k是比例系数)，当F1 N时，x0.01 m，可解得k100 N/m，那么F100x，所以W100xdx50x20.5 J.答案：B9一辆汽车的速度时间曲线如以下图，那么该汽车在这一分钟内行驶的路程为_米解析：据题意，v与t的函数关系式如下：vv(t)所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为st2(50tt2)10t900米答案：900题组四定积分的综合应用10.(2023烟台模拟)假设y(sintcostsint)dt，那么y的最大值是 ()A1 B2 C D0解析：y(sintcostsint)dt(sintsin2t)dt(costcos2t)cosxc
5、os2xcosx(2cos2x1)cos2xcosx(cosx1)222.答案：B11(2023温州模拟)假设f(x)是一次函数，且f(x)dx5，xf(x)dx，那么dx的值是_解析：f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，由(axb)dx5得(ax2bx)ab5， 由xf(x)dx得 (ax2bx)dx，即(ax3bx2) ，ab， 解得a4，b3，f(x)4x3，于是dxdx (4)dx(4x3lnx)83ln2443ln2.答案：43ln212设f(x)|x2a2|dx.(1)当0a1与a1时，分别求f(a)；(2)当a0时，求f(a)的最小值解：(1)0a1时，f(a)|x2a2|dx(a2x2)dx(x2a2)dx(a2xx3)(a2x)a3a300a2a3a3a2.当a1时，f(a)(a2x2)dx(a2xx3)a2.f(a)(2)当a1时，由于a2在1，)上是增函数，故f(a)在1，)上的最小值是f(1)1.当a0,1时，f(a)4a22a2a(2a1)，由f(a)0知：a或a0，故在0，上递减，在，1上递增因此在0,1上，f(a)的最小值为f().综上可知，f(x)在0，)上的最小值为.