1、 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS 引言 主要讨论双曲性方程及双曲性方程组的差分方法。从简单的一届线性双曲型方程开始，构造差分格式，分析其稳定性及其他性质，然后推广到一届线性双曲性方程组。双曲方程与 椭圆方程，抛物方程的重要区别，是双曲方程具有特征和特征关系，其解对初值有局部依赖性质。 初值的函数性质如间断，弱间断等也沿特征传播，因而解一般无光滑性，迄今已开展许多逼近双曲方程的差分格式，这里只介绍常见的九种方法，讨论了各种求解方法，分析了其性质，最后对初边值问题及二维问题进行了讨论。1 一阶线性常系数双曲型方程先考虑线性常系数方程 ,t0 其中a为给定常数，这是最简单的双
2、曲型方程，一般称其为对流方程。虽然1.1式非常简单，但是其差分格式的构造以及差分格式性质的讨论是讨论复杂的双曲型方程和方程组的根底。它的差分格式可以推广到变系数方程，方程组以及拟线性方程和方程组。对于方程1.1附以初始条件 u(x,0)=u(x), 在第一章中讨论了初值问题1.1，1.2式的解，其解沿方程1.1的特征线 是常数，并可表示为 下面讨论双曲性方程的应风格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-wendroff格式，Courant-Friedrichs-Lewy条件利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式，蛙跳格式，数值例子。1.1 迎风格式 迎风格式在实际计算中引起了普遍的重
3、视，从而产生了很多好的方法和技巧。迎风各式的 根本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，1.1式的迎风各式是 , a0 的截断误差和稳定性: , a0 / (两边乘于,得 + 所以 截断误差为 迎风格式对一阶精度,对一阶精度.当时,故迎风格式相容. 下面讨论迎风格式1.4)的稳定性：先把差分格式变化为便于计算的形式 0 其中网格式 令 那么 = 4 当 时原差分格式是稳定的。所以迎风格式1.4是条件稳定。根据Lax等价定理,迎风格式的收敛性条件为. 迎风格式 的截断误差和稳定性： , 两边除于, 得 (两边乘于得 + =所以 =截断误差为 迎风格式
4、的稳定性：将方程改变便于计算的形式： 令 所以 () 2 1222 122 144 当差分格式时1.5是稳定的例 讨论差分格式 的截断误差和稳定性解 截断误 因为 所以 + T(x , t) 所以 差分格式 的截断误差为 即差分格式是一阶精度的。 讨论它的稳定性: 先把差分格式 改写为 令 并将其代入时有 由于a0 所以取=0 差分格式 是绝对不稳定的。 1.2 Lax-Friedrichs格式 讨论逼近对流方程1.1的一个中心差分格式 的截断误差和稳定性Lax-Friedrich s格式的截断误差： 两边乘于得 + 因为 所以 T(x , t) 差分格式1.8的截断误差为 . 讨论1.8稳定
5、性先把差分格式1.8改写为 0 其中 令 并将其代入那么有 1 1 1 所以 差分格式1.8是绝对不稳定的。 1.3 Lax -Wendroff 格式 前面讨论的应风格是和Lax-Friedrichs格式是一阶精度的差分格式。1960年Lax-Friedrichs构造出一个二阶精度的二层格式，这个差分格式在实际计算中得到了充分的重视。这个格式的构造与前面格式的推导有不同，采用Taylor级数展开之外，还用到微分方程本身。 设是微分方程1.1的光滑解，将在点处做Taylor展开 利用微分方程1.1有 ， 把这两式代入前式有 ： 再采用中心差商逼近上式中的导数项，有 因此得到 略去高阶项，可以得到如