1、1990年全国高中数学联赛第一试(10月14日上午8001000)一选择题(此题总分值30分，每题5分)1设(，),那么(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小顺序是A(cosa)cosa(sina)cosa(cosa)sinaB(cosa)cosa(cosa)sina (sina)cosa C(sina)cosa(cosa)cosa(cosa)sina D(cosa)sina (cosa)cosab0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )二填空题(此题总分值30分，每题5分)1设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+
2、b=2，那么 +的最小值是 2设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t60)，cos(2t60)为动点，那么当t由15变到45时，线段AP扫过的面积是 3设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，那么n的最小值是 4对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+f(1990)5设n=1990，那么 (13C+32C33C+3994C3995C= 68个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，那么共有 种不同和排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的
3、排法认为是相同的)三(此题总分值20分)a，b均为正整数，且ab，sin=，(其中0)，An=(a2+b2)nsinn求证：对于一切自然数n，An均为整数四n2个正数排成n行n列a11 a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a4nan1 an2 an3 an4 ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等a24=1，a42=，a43=，求a11+a22+ann五设棱锥MABCD的底面为正方形，且MA=MD，MAAB，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半
4、径第二试(10月14日上午10301230)一(此题总分值35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4求证OP、O1O3、O2O4三直线共点 OOABCDP1OOO234F二(此题总分值35分)设 E=1，2，3，200， G=a1，a2，a100E且G具有以下两条性质： 对任何1ij100，恒有 ai+aj201； ai=10080试证明：G中的奇数的个数是4的倍数且G中所有数字的平方和为一个定数三(此题总分值35分)某市有n所中学，第i所中学派出Ci名代表(1Ci39，1in)来到体育馆观看球赛，
5、全部学生总数为Ci=1990看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下1990年全国高中数学联赛(解答)第一试一选择题(此题总分值30分，每题5分)1设(，),那么(cosa)cosa，(sina)cosa，(cosa)sina的大小顺序是A(cosa)cosa(sina)cosa(cosa)sinaB(cosa)cosa(cosa)sina (sina)cosa C(sina)cosa(cosa)cosa(cosa)sina D(cosa)sina (cosa)cosa(sina)cosa (1990年全国高中数学联
6、赛)解：(，)0cossin1， (cosa)cosa(sina)cosa；(cosa)sina0但x3+y3+3=xy，等号当且仅当x3=y3=时，即x=，y=时成立应选B5设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，那么代数式+的值是( ) A21989 B1 C1 D以上答案都不对解：=或2，其中=cos120+isin1201+2=0且3=1假设=，那么得()1990+()1990=1假设=2，那么得()1990+()1990=1选B6椭圆+=1(ab0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1的点的集合用阴影表示是下面图中的( )解：+=1，由a2b2，故得1+=，1b+=15应选
7、C二填空题(此题总分值30分，每题5分)1设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，那么 +的最小值是 解：ab()2=1，从而anbn1，故 + = 1等号当且仅当a=b=1时成立即所求最小值=12设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t60)，cos(2t60)为动点，那么当t由15变到45时，线段AP扫过的面积是 解：点P在单位圆上，sin(2t60)=cos(1502t)，cos(2t60)=sin(1502t).当t由15变到45时，点P沿单位圆从(，)运动到(,)线段AP扫过的面积=扇形面积=3设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y
8、4+z4)成立，那么n的最小值是 解：(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)等号当且仅当x=y=z时成立故n=34对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+f(1990)解 线段OAn的方程为y=x(0xn)，故f(n)等于该线段内的格点数假设n=3k(kN+)，那么得y=x (0xn)(kNx)，其内有两个整点(k，k+1)，(2k，2k+2)，此时f(n)=2；假设n=3k1(kN+)
9、时，那么由于n与n+3互质，故OAn内没有格点，此时f(n)=0 f(1)+f(2)+f(1990)=2=13265设n=1990，那么 (13C+32C33C+3994C3995C= 解：取(+i)1990展开的实部即为此式而(+i)1990=+i故原式=68个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，那么共有 种不同和排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)解：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩始终站第一个位子，其余7组在8+91个位子中选择7个位子，得C=C种选法7个女孩可任意换位，25个男孩也可任意换位，故共得C7!
10、25!种排列方法三(此题总分值20分)a，b均为正整数，且ab，sin=，(其中0)，An=(a2+b2)nsinn求证：对于一切自然数n，An均为整数证明：由sin=，得cos=记An=(a2+b2)ncosn当a、b均为正整数时，A1=2ab 、B1=a2b2均为整数A2=4ab(a2b2)，B2=2(a2b2)2(a2+b2)2也为整数假设Ak=(a2+b2)ksink、Bk=(a2+b2)kcosk均为整数，那么Ak+1=(a2+b2)k+1sin(k+1)=(a2+b2)k+1sinkcos+(a2+b2)cosksin=AkB1+A1Bk为整数 Bk+1=(a2+b2)k+1cos(k+1)=(a2+b2)k+1coskcos