1、4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形一、明确复习目标掌握正弦、余弦定理，能初步运用它们解斜三角形。二建构知识网络1三角形根本公式：1内角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos=sin, sin=cos2面积公式：S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r为内切圆半径)3射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA2正弦定理：证明：由三角形面积得画出三角形的外接圆及直径易得：3余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA, ； 证明：如图
2、ABC中，当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题4利用正弦定理，可以解决以下两类问题：1两角和任一边，求其他两边和一角；2两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinAab时有两解；a=bsinA或a=b时有 解；absinA时无解。5利用余弦定理，可以解决以下两类问题：1三边，求三角；2两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。6熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力三、双基题目练练手1(
3、2023山东)在中，角的对边分别为，那么 A.1B.2C.D.2在ABC中，AB=3，BC=，AC=4，那么边AC上的高为 A. B. C. D.32023年上海在ABC中，假设2cosBsinA=sinC，那么ABC的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4. (2023全国)用长度分别为2、3、4、5、6单位：的5根细木棒围成一个三角形允许连接，但不允许折断，能够得到的三角形的最大面积为 ( )A. B. C. D. 5.2023全国的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，那么边BC上的中线AD的长为_.6.(2023春上海)在中，三角形面积为
4、12，那么 .答案:1-4.BBCB; 3.由2cosBsinA=sinC得a=c，a=b.4.组成边长6,7,7时面积最大; 5. ; 6. 四、经典例题做一做【例1】(2023天津)如图，在中，1求的值；2求的值. 解： 由余弦定理， 解：由，且得由正弦定理: 解得。所以，。由倍角公式，且，故.提炼方法：两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角的限制.【例2】在ABC中，a=,b=,B=45，求A,C及边c解：由正弦定理得：sinA=,因为B=4590且ba,所以有两解A=60或A=120(1)当A=60时,C=180-(A+B)=75， c=,(2)当A=120
5、时,C=180-(A+B)=15 ，c=提炼方法：两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论【例3】(2023上海)如图，当甲船位于A处时得悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援角度精确到？解 连接BC,由余弦定理得_10_A_20_C_BBC2=202+10222010COS120=700 于是,BC=10 30 , sinACB=, ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援 思路点拨:把实际问题
6、转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出量、未知量，确定解三角形的方法；【例4】O的半径为R，在它的内接三角形ABC中，有成立，求ABC面积S的最大值解：由条件得即有 ，又 当时, 思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理在求值时，要利用三角函数的有关性质【研讨.欣赏】2023江西如图,是边长为的正三角形, 、分别是边、上的点,线段经过的中心.设.(1) 试将、的面积(分别记为与)表示为的函数;(2) 求的最大值与最小值.解: (1)因为为边长为的正三角形的中心, 所以 由正弦定理 因为,所以当
7、时,的最大值; 当时, 的最小值.五提炼总结以为师1掌握三角形中的的根本公式和正余弦定理；2利用正弦定理，可以解决以下两类问题：1两角和任一边，求其他两边和一角；2两边和其中一边的对角，求另一边的对角从而进一步求出其他的边和角；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1） 三边，求三角；2两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。4边角互化是解三角形的重要手段同步练习 4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 【选择题】1.2023浙江在ABC中，“A30是“sinA的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.2023全国ABC中，a、b、c分别为A、
8、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B=30，ABC的面积为，那么b等于 ( )A.B.1+C.D.2+3.以下条件中，ABC是锐角三角形的是 ( )A.sinA+cosA=B.0C.tanA+tanB+tanC0D.b=3，c=3，B=304.(2023全国)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设a、b、c成等比数列，且，那么 ( )A. B. C. D. 【填空题】5.2023春上海在中，分别是、所对的边。假设， 那么_6.在锐角ABC中，边长a=1，b=2，那么边长c的取值范围是_.练习简答：1-4.BBCB; 1.在ABC中，A300sinA1sinA；sinA30A150A
9、30答案：B2. 2b=a+c.平方得a2+c2=4b22ac.由S=acsin30=ac=，得ac=6.a2+c2=4b212.得cosB=，解得b=1+.答案：B3.由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC0，A、B、C都为锐角.答案：C5.2; 6.假设c最大，由cosC0.得c.又cba=1，1c.【解答题】7.2023春北京在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值.剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求A，需找A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值.解法
10、一：a、b、c成等比数列，b2=ac.又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在ABC中，由余弦定理得cosA=，A=60.在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60，=sin60=.解法二：在ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB.b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB.=sinA=.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.8.2023春北京在ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和ABC的面积.解法一：sinA+cosA=cosA45=，cosA45=.又0A180，A45=60
11、，A=105.tanA=tan45+60=2.sinA=sin105=sin45+60=sin45cos60+cos45sin60=.SABC=ACABsinA=23=+.解法二：sinA+cosA=，sinA+cosA2=.2sinAcosA=.0A180，sinA0，cosA0.90A180.sinAcosA2=12sinAcosA=，sinAcosA=.+得sinA=.得cosA=.tanA=2.以下同解法一9. 2023全国锐角ABC中，sinA+B=，sinAB=.1求证：tanA=2tanB；2设AB=3，求AB边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以
12、1为铺垫，解决2.1证明：sinA+B=，sinAB=，=2.tanA=2tanB.2解：A+B，sinA+B=.tanA+B=，即=.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B4tanB1=0，解得tanB=负值舍去.得tanB=，tanA=2tanB=2+.设AB边上的高为CD，那么AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+.评述：此题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.10. 在ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答此题，就必须“化角为边.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以,化简得a2=b2+c2.所以ABC是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的根本功，变形的方向是关键.假设考虑三内角的关系，此题可以从条件推出cosA=0.【探索题】A、B、C是ABC的三个内角，y=cotA+.1假设任意交换两个角的位置，y的值是否变化试证明你的结论.2求y的最小值.解：1y=cotA+=cot A+=cot A