1、上海市上海师范大学附属中学2023年-2023年学年高二数学上学期9月滚动试题（1）（含解析）一、填空题：1.已知，且，则点的坐标为_【答案】【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求出答案【详解】解：，的坐标为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算，是基础题2.已知点，则与向量方向相同的单位向量的坐标为_.【答案】【解析】点，可得，因此，与向量同方向的单位向量为：故答案为：3.，则的取值范围是_【答案】【解析】分析】利用展开，通过数量积的定义以及的范围最终求出的范围【详解】解：，又，即，故答案为：【点睛】本题考查了向量加减法，考查了向量的模的计算，是基础题4.已知向量，且，则_【答案】【
2、解析】【分析】利用向量平行的坐标表示进行计算即可。【详解】解：向量，且，故答案为：【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，是基础题5.已知向量满足，则 【答案】【解析】试题分析：=,又，代入可得8，所以考点：向量的数量积运算.6.已知等腰梯形，其中，且，三个顶点，则点的坐标为_【答案】或【解析】【分析】设出点的坐标，用坐标表示写出，由向量平行与相等，列出方程组，求出点的坐标【详解】解：设点的坐标为，即，又，即，由得或，所以点的坐标为或故答案为：或【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，也考查了向量相等与平行的坐标表示，是基础题目7.设、分别是的边，上的点，. 若（为实数），则的值是 【答案
3、】【解析】依题意，故.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.8.已知点，直线上一点满足，则点坐标是_【答案】或【解析】【分析】设出点的坐标，根据点在直线上以及，可得之间的关系，代入坐标列方程计算即可【详解】解：设点坐标为，是直线上一点，又，或，或，解得：或，则点坐标为或故答案：或【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，关键是要根据题意找到和之间的关系，注意有两种情况，是基础题9.设P为内一点，且，则的面积与面积之比为 _.【答案】【解析】【分析】根据题意，作出平行四边形ACED，B为AD中点，G、F满足，根据向量的加法法则，得到且，根据平行线的性质和三角形面积公式，分别
4、得到PAB的面积等于平行四边形ACED的，且ABC的面积等于平行四边形ACED的，由此即可得到它们的面积之比【详解】设向量，可得点P在以AG、AF为邻边的平行四边形的第四个顶点处，如图所示平行四边形ACED中，B为AD中点，得，PAB的面积S1SADES平行四边形ACED又ABC的面积S2S平行四边形ACEDS1：S2：，即PAB的面积与ABC的面积的比值为故答案为：.【点睛】本题给出三角形中的向量关系式，求两个三角形的面积之比着重考查了向量的加法法则、平行四边形的性质和三角形面积公式等知识，属于中档题10.如图，已知，将绕着点逆时针方向旋转，且模伸长到模的2倍，得到向量.则四边形的面积为_【
5、答案】【解析】【分析】将四边形的面积转化为和的和，根据条件分别求出这两个三角形的面积即可【详解】解：，又，为等边三角形，对于，四边形的面积为故答案为：【点睛】本题考查面积公式的应用，是基础题11.已知向量，实数满足，则的最大值为_【答案】9【解析】【分析】利用向量的运算法则及两向量相等的公式可求出，表示出，据三角函数的有界性求出三角函数的最值详解】解：，的最大值为9故答案为：9【点睛】本题考查向量的运算法则，向量相等的坐标公式，以及三角函数的有界性，属基础题12.在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量， ，若且，则点所有可能的位置所构成的区域面积是 【答案】【解析】【详解】解：作为中点，则在内
6、，面积为二、选择题：13.在四边形ABCD中,若,且|=|,则这个四边形是()A. 平行四边形B. 矩形C. 等腰梯形D. 菱形【答案】C【解析】由知DCAB,且|DC|=|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为|=|,所以四边形ABCD是等腰梯形.选C14.已知的三个顶点、及平面内一点满足，则点与的关系是（ ）A. 在的内部B. 在的外部C. 是边上的一个三等分点D. 是边上的一个三等分点【答案】D【解析】【分析】利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论【详解】解：，是边上的一个三等分点故选：D【点睛】本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件，属于基础题15.设、
7、为两个相互垂直的单位向量,已知,若PQR为等边三角形，则k、r的取值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】注意到.选C.16.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：，则的轨迹一定通过的( )A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心【答案】A【解析】【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向与的角平分线一致，可得到，可得答案【详解】、分别表示向量、方向上的单位向量的方向与的角平分线一致又，向量的方向与的角平分线一致一定通过的内心故选：【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义属中档题三、解答题：17.已知，点分的比为，点在线段上，且，求点的坐标.
8、【答案】【解析】【分析】先通过与面积的比，以及它们高的比，求出它们底边的比，即与的比，可得到，设出点坐标，将用坐标表示，列方程可求出点的坐标【详解】解：如图，设点坐标为，点到的距离为，点到的距离为， 由平行线分线段成比例得：，解得：，点的坐标为【点睛】本题考查面积的比和底的比，高的比之间的关系，要熟练运用比例关系求点的坐标，是基础题18.已知，其中、为的内角，且、成等差数列，求的取值范围.【答案】【解析】【分析】结合三角形的内角和，、依次成等差数列，求出以及与的关系，利用二倍角与两角和与差的三角函数化简的表达式，根据角的范围求出表达式的取值范围【详解】解：，又由已知，【点睛】本题考查向量的数量
9、积的应用，三角函数的化简求值，以及函数值的范围的确定，考查计算能力，转化的思想，是中档题19.已知函数，将的图象向左移个单位的函数的图象若，求的单调递增区间；若，的一条对称轴，求，的值域【答案】 ， ； 【解析】【分析】根据题意，可得，的图象向左移个单位的函数，将，可得解析式，从而求单调递增区间；根据，函数的一条对称轴，即可，的值域【详解】解：由题意，可得，由图象向左移个单位，可得，可得，令，得：，故得的单调递增区间为，由可得，函数的一条对称轴，即，则， ，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为；故得在的值域为：【点睛】本题考查了余弦函数的图象及性质的应用，属于基础题20.已知、都是单位向量，
10、与满足，其中.(1)用k表示；(2)求的最小值，并求此时、的夹角的大小.【答案】(1)；(2)，【解析】【分析】(1)对两边平方，化简即可求解;(2)利用基本不等式求出的最小值，再结合数量积公式求出此时、的夹角.【详解】(1) 即(2)由(1)可知 当且仅当时，取最小值此时、的夹角的余弦值为，所以的最小值为，此时、的夹角为.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及夹角的求法，属于中档题.21.在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数.对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点.（1）求向量的坐标；（2）对任意偶数，用表示向量的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式求出点，的坐标，再利用向量的坐标公式求出的坐标；（2）利用向量的运算法则将以为起点终点的向量表示，利用向量的坐标公式求出各向量的坐标，利用等比数列的前项和公式求出向量的坐标【详解】解：（1）设点，为关于点的对称点，的坐标为，为关于点的对称点，的坐标为，；（2），由于，得，向量的坐标为【点睛】本题考查中点坐标公式、向量的坐标公式、等比数列的前项和公式，综合性较强，但是难度一般- 17 -