1、2023年高考数学试题分类汇编立体几何2023上海文数20.本大题总分值14分此题共有2个小题，第1小题总分值7分，第2小题总分值7分.如以下图，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面不安装上底面.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值结果精确到0.01平方米;(2)假设要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图作图时，不需考虑骨架等因素. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，那么l=1.2-2r(0r0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p，所以当r=0.4时，
2、S取得最大值约为1.51平方米；(2) 当r=0.3时，l=0.6，作三视图略2023湖南文数18.本小题总分值12分如以下图，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；证明：平面ABM平面A1B1M12023浙江理数20此题总分值15分如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. 求二面角的余弦值；点分别在线段上，假设沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。解析：此题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等根底知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是
3、EF的中点，所以,又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz那么2，2，C10，8，0，F4，0，0，D10，0，0. 故=-2，2，2，=6，0，0.设=x,y,z为平面的一个法向量， -2x+2y+2z=0所以 6x=0.取，那么。又平面的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为解：设那么， 因为翻折后，与重合，所以， 故， ，得， 经检验，此时点在线段上，所以。方法二：解：取线段的中点,的中点,连结。 因为=及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面,又平面,故，又因为、是、的中点，易知，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值为。解：设, 因为翻折后
4、，与重合，所以， 而， 得，经检验，此时点在线段上，所以。2023全国卷2理数19如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，证明：为异面直线与的公垂线；设异面直线与的夹角为45，求二面角的大小【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.【参考答案】(19)解法一：I连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.因为面AA1BB1为正方形，故A1BAB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DEBF，DEAB1. 3分作CGAB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.又由底面ABC面AA1B1B.连接DG，那么DGA
5、B1，故DEDG，由三垂线定理，得DECD.所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.II因为DGAB1，故CDG为异面直线AB1与CD的夹角，CDG=45设AB=2，那么AB1=，DG=，CG=，AC=.作B1HA1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1面AA1CC1，故B1H面AA1C1C.又作HKAC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1KAC1，因此B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了
6、传统几何中的“形到“形的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.2023陕西文数18.(本小题总分值12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.()证明：EF平面PAD；()求三棱锥EABC的体积V.解()在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.()连接AE,AC,EC,过E作EGPA交AB于点G,那么BG平面ABCD,且EG=PA.在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=A
7、B=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.2023辽宁文数19本小题总分值12分 如图，棱柱的侧面是菱形，证明：平面平面；设是上的点，且平面，求的值. 解：因为侧面BCC1B1是菱形，所以又所又平面A1BC1，又平面AB1C ，所以平面平面A1BC1 . 设BC1交B1C于点E，连结DE，那么DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B/平面B1CD，所以A1B/DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点.即A1D：DC1=1.2023辽宁理数19本小题总分值12分三棱锥PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,
8、M,S分别为PB,BC的中点.证明：CMSN；求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。那么P0,0,1，C0,1,0，B2,0,0，M1,0,，N,0,0，S1,0.4分,因为，所以CMSN 6分,设a=x，y，z为平面CMN的一个法向量，那么 9分因为所以SN与片面CMN所成角为45。 12分2023全国卷2文数19本小题总分值12分 如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB 证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线； 设异面直线AB与CD
9、的夹角为45,求二面角A-AC-B的大小【解析】此题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的根底知识。1要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。2由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。2023江西理数20. 本小题总分值12分如图BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BC
10、D，AB平面BCD，。（1） 求点A到平面MBC的距离；（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。【解析】此题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一：1取CD中点O，连OB，OM，那么OBCD，OMCD.又平面平面,那么MO平面，所以MOAB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，那么AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=，MOAB，MO/面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OHBC于H，连MH，那么MHBC，求得：OH=OCsin600=,MH=,利
11、用体积相等得：。2CE是平面与平面的交线.由1知，O是BE的中点，那么BCED是菱形.作BFEC于F，连AF，那么AFEC，AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.因为BCE=120，所以BCF=60. ，所以，所求二面角的正弦值是.【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决解法二：取CD中点O，连OB，OM，那么OBCD，OMCD，又平面平面,那么MO平面.以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=，那么各点坐标分别为O0，0，0，C1，0，0，M0，0，B0，-，0，A0，-，2，1设是平面
12、MBC的法向量，那么，由得；由得；取，那么距离2，.设平面ACM的法向量为，由得.解得，取.又平面BCD的法向量为，那么设所求二面角为，那么.【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎2023安徽文数19.(本小题总分值13分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H为BC的中点，()求证：FH平面EDB;求证：AC平面EDB; 求四面体BDEF的体积；【命题意图】此题考查空间线面平行、线
13、面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等根底知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.【解题指导】1设底面对角线交点为G，那么可以通过证明EGFH，得平面；2利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH平面ABCD，得FHBC，FHAC，进而得EGAC，平面；3证明BF平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.【规律总结】此题是典型的空间几何问题，图形不是规那么的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积. 2023重庆文数20本小题总分值12分，小问5分，小问7分. 如题20图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点是棱的中点.证明：平面；假设，求二面角的平面角的余弦值. 2023浙江文数20此题总分值14分如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，ABC=120。E为线段AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F为线段AC的中点。求证：BF平面ADE；设M为线段DE的中点，求直线FM与平面ADE所成角的余弦值。2023