1、深挖信息想思路正方形中显身手深挖信息想思路正方形中显身手 向晓琳 【摘要】与正方形有关的几何证明题，一般看似简单，实则难度系数很大.只要能够充分挖掘出正方形的性质以及题目中的信息，正确添加辅助线，一般都能迎刃而解.【关键词】正方形;对角线;相等;2;线段的比 初中几何题，一般喜欢和正方形结伴而行，题目条件给得简单，但要想解决问题，则并不简单.如何寻找解题思路，下面就以具体例题来说明.一、典例展示 在正方形 ABCD 中，BD 为其对角线.（1）如图 1 所示，若 E，F 分别在 BD，BC 上，且 AEEF 于 E，AE 与 EF 有怎样的大小关系？请说明理由;（2）如图 2 所示，AC 交
2、BD 于 O，OQOP 于 O，OQ 交 BC 于 Q，OP 交 DC 于 P，QPC 的角平分线 PT 交 OC 于 T.求证：BC-QP=2TC;（3）如图 3 所示，在 OB，OC 上取 M，N，过 O 作 OGMC 交 BC 于 G，过 N 作NHMC 交 BC 于 H，若 BG=45GH，求 OMON 的值.二、方法探究 1.方法：利用正方形的对角线平分对角，构造全等三角形.解 分别过 E 作 EG 垂直 AB 于 G，EH 垂直 BC 于 H.BD 平分ABC，EG=EH.AEG+GEF=90，GEF+FEH=90，AEG=FEH.又AGE=FHE，AGEFHE，AE=EF.點拨
3、在正方形中，证明线段相等，一般通过证三角形全等来解决.其他如线段的中垂线、角的平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定，也经常用到.在此题中，要充分利用正方形的性质去解题，如果忘记它的性质，那此题就要花费一番功夫才能做出来.辅助线的作法也要讲究技巧，在构造全等三角形时，要把所证的两条线段，放在所证的两个三角形中.2.方法：利用对角线平分对角，转化到等腰直角三角形中.证明 BOQ+QOC=90，COP+QOC=90，BOQ=COP.又BO=CO，OBQ=OCP=45，OBQOCP，OQ=OP，QP=2OP，OPQ=45.OB=OC，BOC=90，BC=2OC，BC-QP=2OC-2OP=2（OC
4、-OP）.PT 是QPC 的角平分线，QPT=CPT.OPT=OPQ+QPT=45+QPT，OTP=OCP+CPT=45+CPT，OPT=OTP，OP=OT，BC-QP=2（OC-OP）=2（OC-OT）=2TC.点拨 在正方形中，一看见 45，2，就要想到直角三角形，斜边是等腰直角边的 2 倍.此题不适合采用截长补短法.在此类题型中，要学会因果互推，俗称“首尾碰”，即从因导果法和执果索因法的综合运用.即由已知条件出发，联系基础知识和基本经验，推出可能得出的所有结果;又从要证明的结论出发，逆推使结论成立的条件，在前面的“结果”和逆推条件中找到共同点，从而找到证明思路.3.方法：利用垂直得平行，
5、再转化证相似.解 延长 BD 和 HN，交于 P.OGCM，NHCM，OGNH，BGGH=OBOP=OCOP.OCM=90-OMC，P=90-OMC，OCM=P.又MOC=NOP，OMCONP，OMON=OCOP，OMON=BGGH.BG=45GH，OMON=45.点拨 有平行线，想到线段成比例定理，用三角形相似得对应边成比例，通过中间比，达到完美转化的目的.一般做几何证明题，尤其是与正方形有关的题目，更要根据题目中的已知条件，利用数学公理、定理、法则、公式、图形性质等说明结论推导的过程.许多学生在遇到几何证明题时，无从下手，茫然不知所措，根本原因就是基础知识储备不够.有的几何证明题，就题目所给已知条件及图形所给条件无法建立已知和求证的联系，此时，可以尝试添加辅助线帮助解题.在寻找证明思路时，对条件中折射出的信息，要尽可能多地挖掘出来.【参考文献】1王正超.深挖习题 激活思维对一道几何题的探究与推广J.数学教学通讯，2013（5）：62-64.