1、92 线面平行、面面平行一、明确复习目标1掌握空间直线和平面、平面和平面的位置关系；2掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定和性质，并能运用这些知识进行论证或解题.3能灵活进行“线线平行，线面平行，面面平行之间的相互转化.二建构知识网络1直线和平面的位置关系有：1直线在平面内； 2直线和平面相交；3直线和平面平行：定义2线面平行的判定方法：a=a(定义法) 判定定理；ba, b, aaa； ab,aa ab空间向量证线面平行.3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行4判定平面平行的方法：1根据定义证明两平面没有公共点；2判
2、定定理证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；3证明两平面同垂直于一条直线.5平行平面的主要性质： 由定义知：“两平行平面没有公共点. 由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 夹在两个平行平面间的平行线段相等. 经过平面外一点只有一个平面和平面平行.三、双基题目练练手12023重庆对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与 A平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线2一条直线同时平行于两个相交平面，那么这
3、条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A 异面B 平行 C 相交D 不能确定3(2023广东)给出以下关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题：假设,那么l与m不共面；假设m、l是异面直线，；假设；假设lm=点A,l/,其中为假命题的是 A BCD4如果,AB和CD是夹在平面、之间的两条线段，ABCD，且AB2，直线AB与平面成300角，那么线段CD的取值范围是 A. B. C. D.5设D是线段BC上的点，BC平面，从平面外一定点AA与BC分居平面两侧作AB、AD、AC分别交平面于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，那么EG=_.6在四面体ABCD中，M、N分别是面ACD、B
4、CD的重心，那么四面体的四个面中与MN平行的是_.答案提示：1-4.CBCD; 5. ; 6. 平面ABC、平面ABD四、经典例题做一做【例1】：如图，设a,b是异面直线,AB是a,b的公垂线,过AB的中点O作平面与a,b分别平行,M,N分别是a,b上的任意两点,MN与交于点P,求证P是MN的中点.证明:连接AN,交平面与点Q,连PQ,b,b平面ABN,平面ABN=OQ, bOQ，又O为AB的中点，Q为AN的中点.a，a平面AMN且平面AMN=PQaPQ. P为MN的中点.【例2】如图，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形.(1)求证：CD平面EFGH.(2)求异面直线AB、CD
5、所成的角.(3)假设ABa，CD=b，求截面EFGH面积的最大值. CABEHFGD1证明：截面EFGH是一个矩形，EFGH， 又GH平面BCD.EF面BCD，而EF面ACD，面ACD面BCD=CD.EFCD，CD平面EFGH.2解：由1知CDEF，同理ABFG，由异面直线所成角的定义知EFG即为所求的角.易得EFG=90. 3答案：ab/4思悟提炼：灵活进行：“线线平行线面平行.【例3】 正四棱锥PABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58.1求证：直线MN平面PBC；2求直线MN与平面ABCD所成的角_C_B_A_O_N_M_E_D_P 证
6、明1：PABCD是正四棱锥，ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE.ADBC，ENAN=BNND.又BNND=PMMA，ENAN=PMMA. MNPE.又PE在平面PBC内，MN平面PBC.解2：由1知MNPE，求MN与平面ABCD所成的角即可.作PO面ABCD于O，连结OE，那么PEO为PE与平面ABCD所成的角.由正棱锥的性质知PO=.由1知，BEAD=BNND=58， BE=.在PEB中，PBE=60，PB=13，BE=，根据余弦定理，得PE=.在RtPOE中，PO=，PE=，sinPEO=.故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.思悟提炼：证线面平行，一般是转化为证
7、线线平行.求直线与平面所成的角一般是作出线与面所成的角转化为一个平面内的线线角.【例4】如以以下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a.1求证：平面AD1B1平面C1DB；2求证：A1C平面AD1B1；3求平面AB1D1与平面BC1D间的距离.1证明：D1B1DB，D1B1平面C1DB.同理，AB1平面C1DB.又D1B1AB1=B1，平面AD1B1平面C1DB.2证明：A1C1D1B1，而A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影，A1C1D1B1. 同理，A1CAB1，D1B1AB1=B1.A1C平面AD1B1.3解：设A1C平面AB1D1=M，A1C平面BC1D=N，O1、
8、O分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD的中心. 那么MAO1，NC1O，且AO1C1O，MN的长等于平面AD1B1与平面C1DB的距离，即MN=A1M=NC=A1C=a.五提炼总结以为师1.直线和平面平行的判定方法：2证明两平面平行的常用方法：3解题中，要注意灵活地实施下面的转化: 线线线面面面；立体几何平面几何；从而使问题简同步练习 9.2线面平行、面面平行1.a、b是两个不重合平面，l,m是两条不重合直线，那么ab的一个充分条件是 A.la,ma,lb,mb B.la,mb,lm C.la,mb,lm D.la,mb,lm2(2023年高考湖北卷文8)a、b、c是直线，是平面，给出
9、以下命题：假设； 假设；假设； 假设a与b异面，且相交；假设a与b异面，那么至多有一条直线与a，b都垂直.其中真命题的个数是 A1 B2 C3 D43设线段AB、CD是夹在两平行平面a、b之间的异面线段，点A、Ca，B、Db，假设M、N分别是AB、CD的中点，那么有 A.MN=(AC+BD B.MN(AC+BD) C.MN(AC+BD) D.MN与(AC+BD)大小关系不确定.【填空题】42023全国a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，那么a、b在上的射影有可能是两条平行直线;两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是_.写出所有正确结论的编号5.20
10、23湖南平面和直线，给出条件：；. i当满足条件 时，有；ii当满足条件 时，有.填所选条件的序号6.以下六个命题：1垂直于同一条直线的两个平面平行；2平行于同一条直线的两个平面平行；3平行于同一平面的两个平面平行；4与同一条直线成等角的两个平面平行；5一个平面上不共线三点到同一平面的距离相等，那么这两个平面平行；(6两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，那么这两个平面平行.其中正确命题的序号是_.答案提示： 1-3CAC； 4. 5., ; 6. 解：1、3【解答题】7.如以以下图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，侧面PBC内有BEPC于E，且BE=
11、 a，试在AB上找一点F，使EF平面PAD解：在面PCD内作EGPD于G，连结AG PA平面ABCD，CDAD，CDPDCDEG.又ABCD，EGAB.假设有EF平面PAD，那么EFAG，四边形AFEG为平行四边形，得EG=AF.CE=a，PBC为直角三角形，BC2=CECPCP=a，=故得AFFB=21时，EF平面PAD.8如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形 ABCDB11D1C11A1B2A2C2D22222证明： A，B，C，D四点在b内的射影A
12、2，B2，C2，D2在一条直线上，A，B，C，D四点共面又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点， 平面ABB1A1平面CDD1C1AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线ABCD同理ADBC四边形ABCD是平行四边形9.P是所在平面外一点，分别是 的重心，1求证：平面; (2)求证明:分别连PA,PB,PC并延长分别交BC,AC,AB于D,E,F 那么D,E,F分别是BC,CA,AB的中点. AC|FD， 同理AB|DE, 平面 , 又DE=AB， 易证ABC=1:910如以以下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且=，求证：直线MN平面PBC。分析：要证直线MN平面PBC，只需证明MN平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面平面PBC证法一：过N作NRDC交PC于点R，连结RB，依题意得=NR=MBNRDCAB，四边形MNRB是平行四边形MNRB. 又RB平面PBC，直线MN平面PBC证法二：过N作NQAD交PA于点Q，连结QM，=，QMPB又NQADBC，平面MQN平面PBC直线MN平面PBC证法三：过N作NR