1、2023高考数学考点预测导数及其应用一、考点介绍导数属于新增内容，是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，不但一定出大题而相应有小题出现。主要考查导数有关的概念、计算和应用。利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，是函数知识和不等式知识的一个结合体，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，不但突出了能力的考查，同时也注意了高考重点与热点，这一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有益处。1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时
2、速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念2熟记根本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法那么了解复合函数的求导法那么，会求某些简单函数的导数3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值二、高考真题1.（2023全国一21）（本小题总分值12分）（注意：在试题卷上作答无效）函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围解：（1）求导：当时，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且
3、解得：2.（2023全国二21）（本小题总分值12分）设，函数（）假设是函数的极值点，求的值；（）假设函数，在处取得最大值，求的取值范围解：（）因为是函数的极值点，所以，即，因此经验证，当时，是函数的极值点4分（）由题设，当在区间上的最大值为时， 即故得9分反之，当时，对任意，而，故在区间上的最大值为综上，的取值范围为12分3.（2023山东卷21）（本小题总分值12分）函数其中nNx,a为常数.（）当n=2时，求函数f(x)的极值；（）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x2时，有f(x)x-1.（）解：由得函数f(x)的定义域为x|x1， 当n=2时， 所以 （1）当a0时，由f(x)=
4、0得1，1，此时 f（x）=.当x（1，x1）时，f（x）0,f(x)单调递减；当x（x1+）时，f（x）0, f(x)单调递增.（2）当a0时，f（x）0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a0时，f(x)在处取得极小值，极小值为当a0时，f(x)无极值.（）证法一：因为a=1,所以 当n为偶数时，令那么 g（x）=1+0（x2）.所以当x2,+时，g(x)单调递增，又 g(2)=0因此g(2)=0恒成立， 所以f(x)x-1成立.当n为奇数时， 要证x-1,由于0，所以只需证ln(x-1) x-1, 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 那么 h（x）=1-0（x2）, 所
5、以 当x2，+时，单调递增，又h(2)=10， 所以当x2时，恒有h(x) 0,即ln（x-1）x-1命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当a=1时，当x2，时，对任意的正整数n，恒有1，故只需证明1+ln(x-1) x-1.令那么当x2时，0，故h(x)在上单调递增，因此当x2时，h(x)h(2)=0，即1+ln(x-1) x-1成立.故当x2时，有x-1.即f（x）x-1.4.（2023湖南卷21）（本小题总分值13分）函数f(x)=ln2(1+x)-.(I) 求函数的单调区间;（）假设不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.解: （）函数的定义域是，设那么令那么当时
6、， 在（-1，0）上为增函数，当x0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x0时，所以，当时，在（-1，0）上为增函数.当x0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.（）不等式等价于不等式由知， 设那么由（）知，即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为所以a的最大值为5.（2023陕西卷21）（本小题总分值12分）函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是（）求函数的另一个极值点；（）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围解：（），由题意知，即得，（x），由
7、得，由韦达定理知另一个极值点为（或）（）由（x）式得，即当时，；当时，（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数，由及，解得（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数，恒成立综上可知，所求的取值范围为6.（2023重庆卷20）（本小题总分值13分.（）小问5分.（）小问8分.）设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1）处的切线垂直于y轴.（）用a分别表示b和c；（）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.解：()因为 又因为曲线通过点（0，2a+3）, 故 又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故 即-2a+b=0,因此b=2a. (
8、)由()得 故当时，取得最小值-. 此时有 从而 所以 令，解得 当 当 当 由此可见，函数的单调递减区间为（-，-2）和（2，+）；单调递增区间为（-2，2）.7.（2023福建卷19）（本小题总分值12分）函数.（）设an是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.假设点(nNx)在函数y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f(x)的图象上；（）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.本小题主要考查函数极值、等差数列等根本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.总分值12分. ()证明：因为所以(x)=x2+2x, 由点在函数y=f
9、(x)的图象上, 又所以 所以,又因为(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f(x)的图象上.()解:,由得.当x变化时,的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值注意到,从而当,此时无极小值；当的极小值为,此时无极大值；当既无极大值又无极小值.三、名校试题1.(2023年潍坊市高三统一考试)定义在的三个函数f(x)、g(x)、h(x),f(x)=lnx,g(x)= ,且g(x)在1，2为增函数，h(x)在（0，1）为减函数.（I）求g(x)，h(x)的表达式；（II）求证：当1x1时，为增函数.9分即结论成立.10分（III）由
10、（1）知：对应表达式为问题转化成求函数即求方程：即：设当时，为减函数.当时，为增函数.而的图象开口向下的抛物线与的大致图象如图：与的交点个数为2个.即与的交点个数为2个.2.(湖南师大附中)（本小题总分值14分）函数 （）试判断函数上单调性并证明你的结论； （）假设恒成立，求整数k的最大值； （）求证：（1+12）（1+23）1+n（n+1）e2n3.解：（I）（2分）上是减函数.（4分）（II）即h(x)的最小值大于k.（6分）那么上单调递增，又存在唯一实根a，且满足当故正整数k的最大值是3 9分（）由（）知 11分令，那么ln(1+12)+ln(1+23)+ln1+n(n+1)（1+12）
11、（1+23）1+n（n+1）e2n3 14分3.(浙江省重点中学2023年5月)函数，数列的前项和为，且（）求的最大值；（）证明：；（）探究：数列是否单调？解：（），=，（2分）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减在区间内，（2分）（）用数学归纳法证明： 当时， ，成立； 假设当时，成立当时，由及，得，（2分）由() 知，在上单调递增，所以，而， 故当时，也成立由、知，对任意都成立（4分）（）数列单调递减（1分）理由如下：当时， ；当时，由得，（2分）又由 () 知，即，（3分）综上，数列单调递减4函数，数列的前项和为，且（）求的最大值；（）证明：；（）探究：数列是否单调？解：（），=，（2分）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减在区间内，（2分）（）用数学归纳法证明： 当时， ，成立； 假设当时，成立当时，由及，得，（2分）由() 知，在上单调递增，所以，而， 故当时，也成立由、知，对任意都成立（4分）（）数列单调递减（1分）理由如下：当时， ；当时，由得，（2分）又由 () 知，即，（3分）综上，数列单调递减OxyF11MP5.(天津市十二区县重点中学)