1、第五章 平面向量一 平面向量的概念及根本运算【考点阐述】向量向量的加法与减法实数与向量的积平面向量的坐标表示【考试要求】（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念（2）掌握向量的加法和减法（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件（4）了解平面向量的根本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算【2023年湖北卷理5文8】ABC和点M满足+=0假设存在实数m使得+=m成立，那么m=BA2 B3 C4 D5【解析】由+=0知，点M为ABC的重心，设点D为底边BC的中点，那么=（+）=（+），所以有+=m，故m=3，选B【2023年全国卷理8文10】ABC中
2、，点D在AB上，CD平分ACB假设=a，=b，| a |=1，| b |=1，那么=BAa +b Ba +b Ca +b Da +b【命题意图】本试题主要考查向量的根本运算，考查角平分线定理.【解析】因为CD平分ACB，由角平分线定理得=2，所以D为AB的三等分点，且=（），所以=+=+=a +b【2023年陕西卷理11文12】向量a=（2，1），b=（1，m），c=（1，2），假设（a+b）c，那么m= 【答案】1【解析】a+b =（1，m1），c =（1，2），由（a+b）c 得12（1）（m1）=0，所以m=1【2023年高考上海市理科13】如下列图，直线x=2与双曲线：y2=1的渐近线
3、交于E1，E2两点，记=e1，=e2，任取双曲线上的点P，假设=a e1+b e2（a，bR），那么a、b满足的一个等式是 4ab=1【答案】4ab=1【2023年高考上海卷文科13】在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为（，0），e1=（2，1），e2=（2，1）分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，假设=a e1+b e2（a，bR），那么a、b满足的一个等式是 4ab=1 解析：因为e1=（2，1），e2=（2，1）是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又c=，所以a=2，b=1，双曲线方程为，=a e1+b e2=（2a+2b，ab），化简得4ab=1二
4、 平面向量的数量积【考试要求】掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件【2023年江西卷文13】向量a，b满足|b|=2，a与b的夹角为60，那么b在a上的投影是 【答案】1 【解析】考查向量的投影定义，b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值【湖南卷理4】在RtABC中，C=90，AC=4，那么等于DA16 B8 C8 D16解析一：因为C=90，所以=0，=（+）=2+=16解析二：在上的投影为|，所以=|2=16【2023年北京卷理6】a、b为非零向量。“ab是“函数f（x）=（xa+b）（xba）为一次函数的B
5、A充分而不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：f（x）=（xa+b）（xba）=（ab）x2+（|b|2|a|2）x ab，如ab，那么有ab=0，如果同时有|a|=| b |，那么函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f（x）为一次函数，那么ab=0，因此可得ab，故该条件必要。【2023年北京卷文4】假设a，b是非零向量，且ab，|a|b|，那么函数f（x）=（xa+b）（xba）是A A一次函数且是奇函数 B一次函数但不是奇函数 C二次函数且是偶函数 D二次函数但不是偶函数解析：f（x）=（xa+b）（xba）=（ab）x2+（|b|2|a|2）
6、x ab，由ab，那么ab=0，f（x）=（|b|2|a|2）x，故f（x）是一次函数且是奇函数OABC【2023年江西卷理13】向量a，b满足|a|=1，|b|=2， a与b的夹角为60，那么|ab|= 【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法那么、余弦定理等知识，如图a=，b =，ab=，由余弦定理得：|ab|=【2023年重庆卷理2】向量a，b满足ab=0，|a|=1，|b|=2，那么|2ab|= BA0 B C 4 D8解析：|2ab|=.【2023年浙江卷文13】平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a（a2b），那么|2a+b|的值是 解析：，由题意可知a（a2b
7、）=0，结合|a|=1，|b|=2，解得ab=，所以|2 a+b |2=4a2+4ab + b 2=8+2=10，开方可知答案为，【命题意图】此题主要考察了平面向量的四那么运算及其几何意义，属中档题。【2023年浙江卷理16】两平面向量a，b均为非零向量，且ab，| b |=1，a与ba的夹角为120，那么| a |的取值范围是_（0，【命题意图】此题主要考察了平面向量的四那么运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题BCA60120abab【解析】如下列图，在ABC中，ABC=60，AC=1，设ACB=，由正弦定理得： ，| a |=|AB|=sin，故| a |
8、（0，【2023年湖南卷文6】假设非零向量a，b满足|a|=|b|，（2a+b）b =0，那么a与b的夹角为CA30 B 60 C120 D 150【解析】（2a+b）b =2ab+bb=0，所以ab=|b| 2，cosa，b=，a，b=120【2023年辽宁卷理8文8】平面上O，A，B三点不共线，设=a，=b，那么OAB的面积等于CA B C D解析： 【2023年四川卷理5文6】设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2=16，|+|=|，那么|=CA8 B4 C 2 D1解析：由216，得|BC|4 ，|+|=|=|4，而|+|=2|，故|=2DABC【2023年天津卷文9理（填空）1
9、5】如图，在ABC中，ADAB，=，|=1，那么=DA B C D【解析】=|cosDAC=|cosDAC=|sinBAC=|sinB=|sinB=【命题意图】此题主要考查平面向量、解三角形等根底知识,考查化归与转化的数学思想,有点难度.【2023年全国卷理11文11】圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为D A B C D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.PABO【解析1】如下列图：设PA=PB=x，APO=，那么APB=2，PO=，=，令，那么，即
10、，由x2是实数，所以，解得或.故.此时.【解析2】法一： 设，法二：换元：，或建系：园的方程为，设，【2023年山东卷理12文12】定义平面向量之间的一种运算“如下，对任意的a=（m，n），b=（p，q），令ab=mqnp，下面说法错误的选项是BA假设a与b共线，那么ab=0 Bab=ba C对任意的R，有（a）b=（ab） D（ab）2+（ab）2=|a|2|b|2 【解析】假设a与b共线，那么有ab=mqnp，故A正确；因为ba =pnqm，而ab=mqnp，所以有abba，应选项B错误，应选B。【命题意图】此题在平面向量的根底上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的根底知识以及分析问题、
11、解决问题的能力。【2023年重庆卷文3】假设向量a=(3，m)，b=(2，1)， ab=0，那么实数m的值为DA B C 2 D 6【解析】ab=6m=0，所以m =6【2023年安徽卷理3文3】设向量a=（1，0），b=（，），那么以下结论中正确的选项是CA|a|=| b |Bab= Cab与b垂直 Dab解析：ab=（，），（ab）b=0，所以ab与b垂直【2023年福建卷文8】假设向量a=（x，3）（xR），那么“x = 4”是“| a |=5”的AA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】由x=4得a=（4，3），所以| a |=5；反之，由|
12、a |=5可得。【命题意图】此题考查平面向量、常用逻辑用语等根底知识。【2023年广东卷文5】假设向量a=（1，1），b=（2，5），c=(3，x)满足条件 (8ab)c =30，那么x=A6 B5 C4 D3解析：8ab =（6，3），(8ab)c =63+3x=30，故x=4【2023年全国新课标卷文2】a，b为平面向量，a=（4，3），2a+b=（3，18），那么a，b夹角的余弦值等于CA B C D解析：由得b=（2a+b）2a=（5，12），所以【2023年高考福建卷理科7】假设点O和点F（2，0）分别是双曲线y2=1（a0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，那么的取值范围为BA B C D【解析】因为F（2，0）是双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为y2=1，设点P（x0，y0），那么有，解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。【命题意图】此题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对根底知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。【2023年高考福建卷文科11】假设点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，那么的最大值为C A2 B3