1、积累根本活动经验,落实数学核心素养于涛文章以“两角差的余弦公式教学设计为例，创新教学活动，从几何直观到代数推理，引导学生经历数学实践活动和思维活动，积累根本活动经验，培养数学核心素养，关键词根本活动经验;核心素养;两角差的余弦公式普通高中数学课程标准2023年版指出：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来开展所必需的数学根底知识、根本技能、根本思想、根本活动经验简称“四基，课标2023年版将“双基提升为“四基，首次提出根本活动经验是数学学习的根底，史宁中教授认为，数学活动既应包含具体身体行动的活动，也应包括数学思维活动，这样根本活动经验主要就是两个经验：一个是学生的实践经验，培养
2、学生的数学直观：另一个是学生的思维经验，培养学生会思考问题，因此，数学根本活动经验渗透在整个数学教学中，成为落实数学核心素养的有效途径，下面以“两角差的余弦公式为例，谈谈通过恰当创设教学活动，引导学生积累根本活动经验，培养数学核心素养。1根本情况1.1教材内容分析两角差的余弦公式是在学习三角函数、向量等知识后，研究的第一个两个角的三角计算公式，它是研究其它两角和差公式、倍角公式的根底，具有承上启下的作用，从知识生成的过程看，本节课的知识源白天文学的测量问题，涉及几何图形的长度、面积、角度等度量问题，从推导公式的过程看，需要应用单位圆等数学模型，联系三角函数、向量等知识。1.2学生学情分析学生在
3、初中学习了用直角三角形定义锐角三角函数，在高中学习了用单位圆定义任意角三角函数，从静态的锐角到动态的任意角，学生先后学习了两个重要数学模型：直角三角形和单位圆，但还不能将解决角的问题与应用数学模型相结合，另外，学生在初中学习勾股定理及其证明时，初步体会了将几何图形的相互关系面积关系转化为代数表示勾股定理，具备了一定的直观想象意识。1.3教学目标设置1借助勾股定理的证明方法，回忆用几何图形的相互关系研究代数关系的根本思路，开展学生提出问题的能力：2结合活动探究，经历从几何直观到代数表示，初步得到两角锐角差的余弦公式，培养几何直观素养：3会用任意角的单位圆模型证明两角差的余弦公式，感悟从具体到抽象
4、、特殊到一般、数形结合等根本思想，培养逻辑推理素养：4通过例题及变式的教学，掌握两角差的余弦公式，培养数学运算素养：5借助探究性作业，深化根本活动经验，开展学生的创新意识，重点：两角差的余弦公式，难点：两角差的余弦公式的生成与推广过程，2教学过程2.1复习回忆，创设情境问题1如图1.说说初中课本勾股定理证明方法的思路和根本思想？学生：用四个全等Rt构造出两个全等正方形，根据两个图形中阴影局部和空白局部的面积分别相等，得到a2+b2=c2表达了数形结合的根本思想。教师：这个方法表达了形数统一，既严密又直观，问题2几何图形的度量和计算除了长度、面积，还有角度，如图2.假设直角三角形斜边长为1.其中
5、一个锐角为，请仿照勾股定理的证明思路，说出有关的等式。学生：平方关系sin2+cos2=1教师：不过这个几何图形图2只能证明锐角平方关系，要证明任意角平方关系需要用单位圆模型。设计意图勾股定理的证明是通过对几何图形的拼接、割补来证明代数关系的，证明过程重在通过对几何图形的度量和计算，将几何关系转化为代数表示，是以形证数的典范，以此唤醒学生直观想象的意识，鉴于几何度量不仅包含长度、面积，还包含角度，通过相同图形，不同代数观测，得到不同的代数表示，培养学生学会用数学的眼光观察几何图形，开展学生提出问题的能力，从长度到角度，用图1、图2分别证明勾股定理和平方关系锐角的思维过程是类似的，是探究发现两角
6、锐角差的余弦公式的重要活动经验。2.2合作交流，探究发现活动：请用两对斜边长为1的直角三角形如图3，其中一对含锐角，另一对含锐角，仿照勾股定理的证明思路，探究有关与的等式，注：学生每人两对直角三角形，同桌为一组公式：平行四边形面积公式如图4：S=absin探究结果展示：请一个小组分享，简述证明思路教师：这个公式就是两角差的余弦公式，但是只证明了和是锐角的情形。设计意图活动的创设是问题2的变式，从四个全等直角三角形的一个锐角的等量关系的发现，到两组全等直角三角形的两个锐角的等量关系的探究，让学生经历证明勾股定理的思维过程，积累通过几何图形发现数学结论的活动经验，培养学生几何直观素养，从一个角到两
7、个角，让学生感悟数学问题产生、开展的方法，开展学生发现、提出问题的能力，2.3推导证明，公式推广问题3如何证明对任意角，R，cos-=coscos+sinsin？教师：我们用直角三角形的三边关系定义了锐角三角形函数，探究活动用直角三角形拼接几何图形证明了两角锐角差的余弦公式，要将其推广至任意角，说说你的想法？学生：可以考虑用单位圆模型来证明，教师：如图6.分别画出角，的终边，写出终边与单位圆交点A，B的坐标，那么，角-如何在图中表示？根据学生的答复，出现了两种思路设计意图按照初、高中學习三角函数定义的顺序，先用直角三角形拼接几何图形进行公式的探究与发现，再用单位圆模型进行公式的推广与证明，从具
8、体到抽象、特殊到一般，符合学生的认知规律，对于两种证明方法，思路一代数多于几何，紧扣学生学习的最近开展区，联系向量、诱导公式等知识，开展思维的严谨性：思路二几何多于代数，注重对几何问题的图形分析，探索解决问题的思路两个证明思路注重学生的数学思维活动，从数学直观向理性思维转变，培养学生的逻辑推理素养。设计意图例1、例2、例3三个例题的设置，从具体角到字母角，再到具体角与字母角的混合，帮助学生理解运算对象的变化，重在稳固根本知识，变1、变2分别将例2、例3的单个角换成复杂角，重在运算思路的探寻，提升根本技能，强化换元等根本思想，例题和变式形成有机整体，培养学生数学运算素养。2.5作业布置，拓展探究
9、1将课堂探究图形中角的余角记为，请探究有关与的等式。2假设将两对斜边长为1的直角三角形拼成如图9所示的矩形，请探究图9中空白局部菱形面积的含义。3选做你还能用这些直角三角形拼出其它常见平面图形，并根据其几何关系探究代数关系吗？设计意图探究1是课堂活动的延伸，探究结果是两角锐角和的正弦公式;探究2给出了第三种矩形的拼接方式，根据标注角的不同，探究结果可能是两角锐角差的正弦公式，也可能是两角锐角和的余弦公式，通过探究12，启发学生的思维，帮助学生强化根本活动经验，为其它公式的学习做好铺垫，培养直观想象素养，探究3在探究2的根底上，具有较大的开放性，旨在培养学生的创新意识。3教后反思3.1实践活动重
10、数学直观关于三角公式的学习，学生往往更关注公式的实用性，忽略对三角公式的理解，因此，本节课的教学设计，从整体教学设计理念出发，将三角知识的学习放置于整个初、高中相关知识的学习中，以学生认知开展规律为依据，围绕几何图形构建实践活动，其中，在创设情境、探究发现和探究作业等教学环节，探究对象的几何图形和代数要素不断变化，强化和丰富了学生的实践活动经验，不难发现，每个几何图形都表达着相应代数表示的一种几何意义，有助于学生加深对公式的理解，积累数学实践活动经验，有助于学生数学直观的培养，开展学生发现数学结论的能力和意识，让学生自然地学习知识。3.2思维活动重数学推理不管是证明公式，还是应用公式，都是用已
11、有数学知识解决数学问题的过程，都应帮助学生开展数学思维，因此，对于公式的推广與证明，教学中不急于陕速完成，而是通过精心设置问题，引导学生积极思考，遵循最近开展区理论，探寻较为自然的证明思路;对于公式的应用，教学中以题组、变式等方式，题目设置由简至繁，将解题经验逐步归一，构建科学思维体系，积累数学思维活动经验，就要在教学活动中，引导学生将调动根底知识、施展根本技能、应用根本思想有机融合，积累解决数学问题的经验，完善认知结构，开展自动自觉的思维意识。总之，教学中既要关注实践活动，也要关注思维活动，它们是根本活动的两个侧面，与其它“三基紧密联系，教学过程中，注重帮助学生积累根本活动经验，就能推动学生思考数学问题，开展数学核心素养。