1、第2课时正、余弦定理的综合问题基础题组练1ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b，c4，cos A，则ABC的面积等于()A3B.C9 D解析：选B.因为cos A，则sin A，所以SABCbcsin A，故选B.2在ABC中，已知C，b4，ABC的面积为2，则c()A2 B.C2 D2解析：选D.由Sabsin C2a2，解得a2，由余弦定理得c2a2b22abcos C12，故c2.3(2023年河南三市联考)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，sin Asin B1，c2cos C，则ABC的周长为()A33 B2C32 D3解析：选C.因为sin As
2、in B1，所以ba，由余弦定理得cos C，又c，所以a，b3，所以ABC的周长为32，故选C.4(2023年湖南师大附中4月模拟)若ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2，c，ABC的面积Scos A，则a()A1 B.C. D解析：选A.因为b2，c，Scos Abcsin Asin A，所以sin Acos A.所以sin2Acos2Acos2Acos2Acos2A1.易得cos A.所以a2b2c22bccos A4522981，所以a1.故选A.5(2023年开封市定位考试)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为4，且2bcos Aa2c，a
3、c8，则其周长为()A10 B12C8 D82解析：选B.因为ABC的面积为4，所以acsin B4.因为2bcos Aa2c，所以由正弦定理得2sin Bcos Asin A2sin C，又ABC，所以2sin Bcos Asin A2sin Acos B2cos Asin B，所以sin A2cos Bsin A，因为sin A0，所以cos B，因为0B，所以B，所以ac16，又ac8，所以ac4，所以ABC为正三角形，所以ABC的周长为3412.故选B.6在ABC中，A，b2sin C4sin B，则ABC的面积为 解析：因为b2sin C4sin B，所以b2c4b，所以bc4，SA
4、BCbcsin A42.答案：27(2023年江西赣州五校协作体期中改编)在ABC中，A，b4，a2，则B ，ABC的面积等于 解析：ABC中，由正弦定理得sin B1.又B为三角形的内角，所以B，所以c2，所以SABC222.答案：28在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若，sin B，SABC，则b的值为 解析：由ac，由SABCacsin B且sin B得ac5，联立，得a5，且c2.由sin B且B为锐角知cos B，由余弦定理知b225425214，b.答案：9在ABC中，A60，ca.(1)求sin C的值；(2)若a7，求ABC的面积解：(1)在ABC中
5、，因为A60，ca，所以由正弦定理得sin C.(2)因为a7，所以c73.由余弦定理a2b2c22bccos A得72b2322b3，解得b8或b5(舍)所以ABC的面积Sbcsin A836.10(2023年福建五校第二次联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos C(2bc)cos A.(1)求角A的大小；(2)若a2，求ABC面积的最大值解：(1)由正弦定理可得，sin Acos C2sin Bcos Asin Ccos A，从而sin(AC)2sin Bcos A，即sin B2sin Bcos A.又B为三角形的内角，所以sin B0，于是cos A，又A为三
6、角形的内角，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bccos A，得4b2c22bc2bcbc，所以bc4(2)，所以SABCbcsin A2，故ABC面积的最大值为2.综合题组练1(2023年昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD中，D90，BAD120，AD1，AC2，AB3，则BC()A. B.C. D2解析：选C.如图，在ACD中，D90，AD1，AC2，所以CAD60.又BAD120，所以BACBADCAD60.在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC7，所以BC.故选C.2在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a，a2.若b1，3，则c的最小值为 解
7、析：由a，得sin C由余弦定理可知cos C，即3cos Csin C，所以tan C，故cos C，所以c2b22b12(b)29，因为b1，3，所以当b时，c取最小值3.答案：33(2023年重庆市学业质量调研)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为accos B，且sin A3sin C.(1)求角B的大小；(2)若c2，AC的中点为D，求BD的长解：(1)因为SABCacsin Baccos B，所以tan B.又0B，所以B.(2)sin A3sin C，由正弦定理得，a3c，所以a6.由余弦定理得，b26222226cos 6028，所以b2.所以co
8、s A.因为D是AC的中点，所以AD.所以BD2AB2AD22ABADcos A22()22213.所以BD.4(2023年原创题)在ABC中，sin Acos Btan A121615.(1)求sin C；(2)若AB8，点D为ABC外接圆上的动点，求的最大值解：(1)由sin Atan A1215，得cos A，故sin A，所以由sin Acos B1216，得cos B，故sin B，于是sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.(2)在ABC中，由，解得AC5，由A，B，C，D四点共圆及题干条件，可知ADCABC时取得最大值，设DAm，DCn，在DAC中，由余弦定理的推论得cosADC，故mnm2n2252mn25，解得mn，故mn50，当且仅当mn时，等号成立，故的最大值为50.6