1、第四节 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例题组一平面向量的数量积及向量的模1.(2023四平模拟)设a、b、c是单位向量，且ab0，那么(ac)(bc)的最小值为 ()A2 B.2 C1 D1解析：(ac)(bc)abc(ab)c20|c|ab|cosc，(ab)10| c |ab|11111.答案：D2(2023广东高考)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态F1、F2成60角，且F1、F2的大小分别为2和4，那么F3的大小为 ()A2 B2 C2 D6解析：由得F1F2F30，F3(F1F2)2F1F22|F1|F2|cos6028.|F3|2.
2、答案：A3(2023福建高考)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac，|a|c|，那么|bc|的值一定等于 ()A以a，b为两边的三角形的面积B以b，c为两边的三角形的面积C以a，b为邻边的平行四边形的面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积解析：设a，b，(0，)，a，c，b，c，以a，b为邻边的平行四边形面积为|a|b|sin，而|bc|b|c|sin，又|a|c|，|bc|a|b|sin.答案：C题组二两向量的夹角问题4.(2023全国卷)设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，那么a，b()A150 B120 C60 D30解析：(ab)
3、2c2，ab，cosa，b，a，b120.答案：B5在ABC中，3，ABC的面积S，那么与夹角的取值范围是 ()A， B， C， D，解析：设，由| | |cos3，得| | |，S| | |sinsintan.由tan，得tan1，.答案：B6设两个向量e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为60，假设向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解：由，|e1|24，|e2|21，e1e221cos601.(2te17e2)(e1te2)2t(2t27)e1e27t2t215t7.由2t215t70，得7t.由2te17e2(e1te2)(0)，得，.由
4、于2te17e2与e1te2的夹角为钝角，故(2te17e2)(e1te2)0且2te17e2(e1te2)(0)，故t的取值范围是(7，)(，)题组三两向量的平行与垂直7.向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，那么实数x等于 ()A4 B4 C0 D9解析：a(1,2)，b(x，2)，ab(1x,4)，a(ab)，a(ab)0，1x80，x9.答案：D8(2023广东高考)假设平面向量a，b满足|ab|1，ab平行于x轴，b(2，1)，那么a_.解析：设a(x，y)，那么ab(x2，y1)由题意a(1,1)或a(3,1)答案：(1,1)或(3,1)9平面向量a(1，x)，b(2x
5、3，x)，xR.(1)假设ab，求x的值；(2)假设ab，求|ab|.解：(1)假设ab，那么ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0.整理得x22x30，解得x1或x3.(2)假设ab，那么有1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，|ab|(1,0)(3,0)|(2,0)|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，|ab|(1，2)(1,2)|(2，4)|2.题组四平面向量数量积的综合应用10.(2023长郡模拟)| |1，|，0，点C在AOB内，且AOC30，设mn (m，nR)，那么等于 ()A.B3 C. D.解析：|
6、|1，| |，0，OAOB，且OBC30，又AOC30，.(mn)()0，m2n20，3nm0，即m3n，3.答案：B11(2023浙江高考)设向量a，b满足：|a|3，|b|4，ab0，以a，b，ab的模为边长构成三角形，那么它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ()A3 B4 C5 D6解析：当圆与三角形两边都相交时，有4个交点，此题新构造的三角形是直角三角形，其内切圆半径恰好为1.故它与半径为1的圆最多有4个交点答案：B12(文)向量m(cos，cos)，n(cos，sin)，且x0，令函数f(x)2a mnb.(1)当a1时，求f(x)的递增区间；(2)当a0时，f(x)的值域是3,
7、4，求a、b.解：f(x)2a mnb2a(cos2sinx)b2a(cosxsinx)ba(sinxcosx)abasin(x)ab.(1)当a1时，f(x)sin(x)1b.令2kx2k，得2kx2k(kZ)，又x0，f(x)的递增区间为0，(2)当a0时，x0，x，sin(x)，1当sin(x)时，f(x)aabb，f(x)的最大值为b.当sin(x)1时，f(x)aab(1)ab.f(x)的最小值为(1)ab.解得a1，b4.(理)ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m(a,4cosB)，n(cosA，b)满足mn.(1)求sinAsinB的取值范围；(2)假设实数x满足abxab，试确定x的取值范围解：(1)因为mn，所以，即ab4cosAcosB.因为ABC的外接圆半径为1，由正弦定理，得ab4sinAsinB.于是cosAcosBsinAsinB0，即cos(AB)0.因为0AB.所以AB.故ABC为直角三角形sinAsinBsinAcosAsin(A)，因为A，所以sin(A)1，故1sinAsinB.(2)x.设tsinAcosA(1t)，那么2sinAcosAt21，x，因为x0，故x在(1，上是单调递减函数所以.所以实数x的取值范围是，)