1、课时作业45立体几何中的向量方法 基础达标12023年广东五校第一次诊断如图，在菱形ABCD中，ABC60，AC与BD交于点O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2.(1)求证：BD平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值解析：(1)四边形ABCD是菱形，BDAC.AE平面ABCD，BD平面ABCD，BDAE.又ACAEA，AC，AE平面ACFE，BD平面ACFE.(2)连接OE，以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0)，O(0,0,0)，E(1,0,2)，F(1,0，a)(a0)，则(0
2、，0)，(1,0,2)，(1,0，a)设平面EBD的法向量为n(x，y，z)，则有即得y0.令z1，则x2，n(2,0,1)是平面EBD的一个法向量由题意得sin 45|cos，n|，解得a3或a(舍去)(1,0,3)，又(1，2)，cos，故异面直线OF与BE所成角的余弦值为.22023年安徽合肥调研如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，ABE60，G为BE的中点(1)求证：平面ACG平面BCE；(2)若ABBC，求二面角BCAG的余弦值解析：(1)证明：平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，CB平面ABEF，CBAG.在菱形ABEF中，ABE60，
3、连接AE，则ABE为等边三角形，又G为BE的中点，AGBE.BECBB，AG平面BCE.AG平面ACG，平面ACG平面BCE.(2)由(1)知，AD平面ABEF，AGBE，AG，AF，AD两两垂直以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系设AB2，则BC，A(0,0,0)，G(，0,0)，C，B(，1,0)设m(x，y，z)为平面ABC的法向量由得取x1，得y，z0，m(1，0)是平面ABC的一个法向量，同理可得平面ACG的一个法向量为n(0,2，)，cosm，n，结合图形知，二面角BCAG为锐二面角，故二面角BCAG的余弦值为.32023年河南洛阳统一考试如图1，平面多边形PABCD中，PAP
4、D，AD2DC2BC4，ADBC，APPD，ADDC，E为PD的中点，现将APD沿AD折起，如图2，使PC2.(1)证明：CE平面ABP；(2)求直线AE与平面ABP所成角的正弦值解析：(1)取PA的中点H，连接HE，BH，如图E为PD的中点，HE为PAD的中位线，HEAD，且HEAD.又ADBC，BCAD，HEBC，HEBC，四边形BCEH为平行四边形，CEBH.BH平面ABP，CE平面ABP，CE平面ABP.(2)由题意知PAD为等腰直角三角形，四边形ABCD为直角梯形取AD的中点F，连接BF，PF，AD2BC4，平面多边形PABCD中，P，F，B三点共线，且PFBF2，翻折后，PFAD，
5、BFAD，PFBFF，DF平面PBF，BC平面PBF，PB平面PBF，BCPB.在直角三角形PBC中，PC2，BC2，PB2，PBF为等边三角形取BF的中点O，DC的中点M，连接PO，OM，则POBF，DF平面PBF，DFPO.又DFBFF，PO平面ABCD.以O为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,2,0)，P(0,0，)，A(1，2,0)，E，(2,2,0)，(1,0，)设平面ABP的法向量为n(x，y，z)，则故可取n(3，3，)，cosn，直线AE与平面ABP所成角的正弦值为.42023年广东惠州一调如图，直四棱柱ABCDA1B1C1
6、D1的底面是菱形，侧面是正方形，DAB60，E是棱CB的延长线上一点，经过点A，C1，E的平面交棱BB1于点F，B1F2BF.(1)求证：平面AC1E平面BCC1B1；(2)求二面角EAC1C的余弦值解析：(1)设四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长为a，B1F2BF，B1C1FBEF，BE.由DAB60ABE，得ABC120，由余弦定理得AE，ACa.CEBEBC，AE2CE2AC2，AECE.又ABCDA1B1C1D1是直四棱柱，C1C平面ABCD，又AE平面ABCD，C1CAE.CECC1C，AE平面BCC1B1.AE平面AC1E，平面AC1E平面BCC1B1.(2)解法一过C作CGAC
7、1于G，CHC1F于H，连接GH.由平面AC1E平面BCC1B1，平面AC1E平面BCC1B1C1E，得CH平面AC1E.CHAC1，又CGAC1，CGCHC，AC1平面CGH，AC1GH，CFH是二面角EAC1C的平面角在RtACC1中，ACa，CC1a，AC12a，CGa，在RtECC1中，CEa，CC1a，EC1a，CHa，GHa，cosCGH，二面角EAC1C的余弦值为.解法二以E为坐标原点，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，平行于BB1的直线为z轴建立空间直角坐标系，则E(0,0,0)，A，C1，则，.设平面EAC1的法向量为n(p，q，r)，则即不妨取n(2,0,3)连接BD，B
8、，D，易知平面AC1C的一个法向量为n1.设二面角EAC1C的平面角为，则|cos |，又由题图知为锐角，二面角EAC1C的余弦值为.52023年江西南昌重点中学段考如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将ACD折起，使得点D在平面ABC内的射影恰好落在边AB上(1)求证：平面ACD平面BCD；(2)当2时，求二面角DACB的余弦值解析：(1)如图，设点D在平面ABC内的射影为点E，连接DE，则DE平面ABC，所以DEBC.因为四边形ABCD是矩形，所以ABBC，所以BC平面ABD，所以BCAD.又ADCD，所以AD平面BCD，而AD平面ACD，所以平面ACD平面BCD.(2)解法一在矩形A
9、BCD中，过点D作AC的垂线，垂足为M，连接ME.因为DE平面ABC，所以DEAC，又DMDED，所以AC平面DME，所以EMAC，所以DME为二面角DACB的平面角设ADa，则AB2a.在RtADC中，易求得AM，DM.在RtAEM中，tanBAC，得EM，所以cosDME.解法二以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示设ADa，则AB2a，所以A(0，2a,0)，C(a,0,0)由(1)知ADBD，又2，所以DBA30，DAB60，所以AEADcosDABa，BEABAEa，DEADsinDABa，所以D，所以，(a,2a,0)设平面A
10、CD的法向量为m(x，y，z)，则即取y1，则x2，z，所以m.因为平面ABC的一个法向量为n(0,0,1)，所以cosm，n.结合图知，二面角DACB为锐二面角，所以二面角DACB的余弦值为.62023年四川成都模拟，逻辑推理如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明：B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长解析：(1)在B1C1E中，EB1，B1C1，EC1，B1CECEB，B1C1EC1，AA1平面A
11、BCD，AA1BC，CC1B1C1，而CC1EC1C1，B1C1平面CC1E.CE平面CC1E，B1C1CE.(2)由题可知，DA，AA1，AB两两垂直，如图，以点A为原点，分别以AD，AA1，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)，(1，2，1)，(1,1，1)，(1,0，1)，设平面B1CE的法向量为m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，则m(3，2,1)为平面B1CE的一个法向量由(1)知，B1C1平面CEC1，故(1,0，1)为平面CEC1的一个法
12、向量所以cosm，从而sinm，所以二面角B1CEC1的正弦值为.(3)由(2)知(0,1,0)，(1,1,1)，设，则(，)，(01)，则(，1，)易知(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin |cos，|，得(负值舍去)，所以，|，故线段AM的长为.能力挑战72023年安徽江南名校联考如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，DC6，AD8，BC10，PAD45，E为PA的中点(1)求证：DE平面BPC；(2)线段AB上是否存在一点F，满足CFDB？若存在，请求出二面角FPCD的余弦值；若不存在，请说明理由解析：(
13、1)取PB的中点M，连接EM和CM，过点C作CNAB，垂足为点N，如图在四边形ABCD中，CNAB，DAAB，CNDA.又ABCD，四边形CDAN为平行四边形，CNAD8，DCAN6，在RtBNC中，BN6，AB12，而E，M分别为PA，PB的中点，EMAB且EMAB6.又DCAB，EMCD且EMCD，四边形CDEM为平行四边形，DECM.CM平面PBC，DE平面PBC，DE平面BPC.(2)由题意可得DA，DC，DP两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(8,0,0)，B(8,12,0)，C(0,6,0)，P(0,0,8)假设AB上存在一点F，使CFBD，设点F的坐标为(8，t,0)，(0t12)，则(8，t6,0)，(8,12,0)由0，得t.易知平面DPC的一个法向量为m(1,0,0)设平面FPC的法向量为n(x，y，z)又(