1、第3讲 圆的方程基础题组练1圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21解析：选A.设圆心为(0，a)，则1，解得a2，故圆的方程为x2(y2)21.故选A.2(2023年河北省九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30 Bx2y24x0Cx2y24x0 Dx2y22x30解析：选C.由题意设所求圆的方程为(xm)2y24(m0)，则2，解得m2或m(舍去)，故所求圆的方程为(x2)2y24，即x2y24x0.故选C.3方程|
2、x|1所表示的曲线是()A一个圆 B两个圆C半个圆 D两个半圆解析：选D.由题意得即或故原方程表示两个半圆4(一题多解)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8，0)，以OA为直径的圆与直线y2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为()Ax2y80 Bx2y80C2xy160 D2xy160解析：选A.法一：如图，由题意知OBAB，因为直线OB的方程为y2x，所以直线AB的斜率为，因为A(8，0)，所以直线AB的方程为y0(x8)，即x2y80，故选A.法二：依题意，以OA为直径的圆的方程为(x4)2y216，解方程组，得或(舍去)，即B，因为A(8，0)，所以kAB，所以直线AB的方程为
3、y0(x8)，即x2y80，故选A.5(2023年河北五个一名校联盟一诊)已知点P为圆C：(x1)2(y2)24上一点，A(0，6)，B(4，0)，则|的最大值为()A.2 B4C24 D22解析：选C.取AB的中点D(2，3)，则2，|2|，|的最大值为圆心C(1，2)与D(2，3)的距离d再加半径r，又d，所以dr2.所以|2|的最大值为24.故选C.6点M，N是圆x2y2kx2y40上的不同两点，且点M，N关于直线xy10对称，则该圆的半径为_解析：圆x2y2kx2y40的圆心坐标为.因为点M，N在圆x2y2kx2y40上，且点M，N关于直线xy10对称，所以直线xy10经过圆心，即11
4、0，k4.所以圆的方程为x2y24x2y40，圆的半径为3.答案：37已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y298已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为_解析：圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)
5、，(2x，2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0.即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.答案：(x1)2(y3)229(一题多解)一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为2，则该圆的方程为_解析：法一：因为所求圆的圆心在直线x3y0上，所以设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，所以半径r3|a|，又所求圆在直线yx上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线yx的距离d，所以d2()2r2，即2a279a2，所以a1.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2
6、y10或x2y26x2y10.法二：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线yx的距离为，所以r27，即2r2(ab)214.由于所求圆与y轴相切，所以r2a2，又因为所求圆的圆心在直线x3y0上，所以a3b0，联立，解得或故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.法三：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心的坐标为，半径r.在圆的方程中，令x0，得y2EyF0.由于所求圆与y轴相切，所以0，则E24F.圆心到直线yx的距离为d，由已知得d2()2r2，即(DE)2562(D2E24F)又圆心在直
7、线x3y0上，所以D3E0.联立，解得或故所求圆的方程为x2y26x2y10或x2y26x2y10.答案：x2y26x2y10或x2y26x2y1010设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐
8、标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.综合题组练1自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A8x6y210 B8x6y210C6x8y210 D6x8y210解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，4)，半径r2，如图因为|PQ|PO|，且PQCQ，所以|PO|2r2|PC|2，所以x2y24(x3)2(y4)2，即6x8y210，所以点P的轨迹方程为6x8
9、y210，故选D.2设点P是函数y的图象上的任意一点，点Q(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为()A.2 BC.2 D2解析：选C.如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x2y60上过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|，|PQ|min|CA|22.故选C.3(2023年福建厦门一模)在ABC中，AB4，AC2，A，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为_解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系则A(0，0)，B(4，0)，C(1，)，设P(x，y)，则(4x，y)，(1x，y)，所以(4x)(1x)y
10、(y)x25xy2y43，其中表示圆A上的点P与点M之间距离|PM|的平方，由几何图形可得|PM|min|AM|111，所以()min(1)2352.答案：524已知以点P为圆心的圆经过点A(1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.则直线CD的方程为_，圆P的方程为_解析：由题意知，直线AB的斜率k1，中点坐标为(1，2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得ab30.又因为直径|CD|4，所以|PA|2，所以(a1)2b240.由解得或所以圆心P(3，6)或P(5，2)所以圆P的方程为(x3)2(y6)240或(
11、x5)2(y2)240.答案：xy30(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)2405已知方程x2y22x4ym0.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x2y40相交于M，N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程解：(1)由D2E24F0得(2)2(4)24m0，解得m0，x1x2m，x1x22m.令x0，得y2m，即C(0，2m)(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则0，得x1x24m20，即2m4m20，所以m0或m.由0得m8，所以m，此时C(0，1)，AB的中点M即圆心，半径r|CM|，故所求圆的方程为y2.(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2y2mxEy2m0，将点C(0，2m)代入可得E12m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2y2mx(12m)y2m0，整理得x2y2ym(x2y2)0.令可得或故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和.8