1、第7讲 双曲线 基础题组练1“k9”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程1表示双曲线，所以(25k)(k9)0，所以k25，所以“k0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选A.法一：由题意知，e，所以ca，所以ba，所以，所以该双曲线的渐近线方程为yxx，故选A.法二：由e，得，所以该双曲线的渐近线方程为yxx，故选A.3(2023年广东揭阳一模)过双曲线1(a0，b0)的两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为()A.1 BC. D2解析：选
2、B.将xc代入双曲线的方程得y2y，则2c，即有acb2c2a2，由e，可得e2e10，解得e(舍负)故选B.4设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选C.如图，不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为，.又A1，A2的坐标分别为(a，0)，(a，0)所以，.因为A1BA2C，所以0，即(ca)(ca)0，即c2a20，所以b20，故1，即1.又双曲线的渐近线的斜率为，故该双曲线的渐近线的方程
3、为yx.5(2023年河北衡水三模)过双曲线1(a0，b0)的右焦点F(，0)作斜率为k(k1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A，交另一条渐近线于点B，若SBOF(O为坐标原点)，则k的值为()A B2C D解析：选B.由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为yx，过第二象限的渐近线的方程为yx，直线FB的方程为yk(x)，联立方程得x，所以y，所以SBOF|OF|yB|.令，得k2或k(舍)故选B.6(2023年黄山模拟)过双曲线E：1(a0，b0)的左焦点(，0)，作圆(x)2y24的切线，切点在双曲线E上，则E的离心率等于()A2 BC. D解析：选B.设圆的圆心为G，双曲
4、线的左焦点为F.由圆的方程(x)2y24，知圆心坐标为G(，0)，半径R2，则FG2.设切点为P，则GPFP，PG2，PF22a，由|PF|2|PG|2|FG|2，即(22a)2420，即(22a)216，得22a4，a1，又c，所以双曲线的离心率e，故选B.7设F为双曲线1(a0，b0)的右焦点，若线段OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为()A2 BC2 D3解析：选B.双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，线段OF的垂直平分线为直线x，将x代入yx，则y，则交点坐标为，点到直线yx，即bxay0的距离d|OF|，得c2b2
5、，即4a23c2，所以双曲线的离心率e，故选B.8已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A. B3C2 D4解析：选B.因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以MON60.不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3，故选B.9(2023年湛江模拟)设F为双曲线E：1(a，b0)的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐
6、标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2y2c2(c2a2b2)与E在第一象限的交点是P，且|PF|1，则双曲线E的方程是()A.1 B1C.y21 Dx21解析：选D.双曲线E：1的渐近线方程为yx，因为四边形OAFB为菱形，所以对角线互相垂直平分，所以c2a，AOF60，所以.则有解得P.因为|PF|1，所以(1)2，解得a1，则b，故双曲线E的方程为x21.故选D.10已知双曲线1(b0)的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且F与双曲线的渐近线相切，若过点A作F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|()A8 B4C2 D4解析：选D.因为双曲线1(b0)的虚轴长为8，所以2b8，解得b4
7、，因为a3，所以双曲线的渐近线方程为yx，c2a2b225，A(3，0)，所以c5，所以F(5，0)，因为F与双曲线的渐近线相切，所以F的半径为4，所以|MF|4，因为|AF|ac358，所以|AM|4，因为S四边形AMFN2|AM|MF|AF|MN|，所以2448|MN|，解得|MN|4，故选D.11(2023年开封模拟)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F作圆x2y2a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若2，则双曲线的离心率为()A. BC. D2解析：选B.设P(0，3m)，由2，可得点M的坐标为，因为OMPF，所以1，所以m2c2，所以M，由|OM|2|MF|2|OF|2，|O
8、M|a，|OF|c得，a2c2，a2c2，所以e，故选B.12过双曲线1(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为()A(1，)B(，)C(，2)D(1，)(，)解析：选D.设双曲线：1(a0，b0)的左焦点为F1(c，0)，令xc，可得y，可设A，B.又设D(0，b)，可得，.由ABD为钝角三角形，可得DAB为钝角或ADB为钝角当DAB为钝角时，可得0，即为0b，即有a2b2c2a2.可得c22a2，即e1，可得1e；当ADB为钝角时，可得0，即为c20，由e，可得e44e220.又e1，可得e.综
9、上可得，e的范围为(1，)(，)故选D.13焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线x21有相同渐近线的双曲线的标准方程是_解析：设所求双曲线的标准方程为x2(0)，即1，则有425，解得5，所以所求双曲线的标准方程为1.答案：114过双曲线1(a0，b0)的左焦点F1作圆x2y2a2的切线交双曲线的右支于点P，且切点为T，已知O为坐标原点，M为线段PF1的中点(点M在切点T的右侧)，若OTM的周长为4a，则双曲线的渐近线方程为_解析：连接OT，则OTF1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|b.设双曲线的右焦点为F2，连接PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，所以OMPF2，所以|MO|M
10、T|PF2|(|PF2|PF1|)b(2a)bba.又|MO|MT|TO|4a，即|MO|MT|3a，故|MO|，|MT|，由勾股定理可得a2，即，所以渐近线方程为yx.答案：yx15已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点若0，则y0的取值范围是_解析：由题意知a，b1，c，设F1(，0)，F2(，0)，则(x0，y0)，(x0，y0)因为0，所以(x0)(x0)y0，即x3y0.因为点M(x0，y0)在双曲线C上，所以y1，即x22y，所以22y3y0，所以y00，b0)的左、右两个焦点，若直线yx与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，
11、则双曲线的离心率为_解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线yx代入双曲线C方程，可得x，所以c，所以2a2b2c2(b2a2)，即2(e21)e42e2，所以e44e220.因为e1，所以e22，所以e.答案：综合题组练1过双曲线1(a0，b0)的左焦点F(c，0)作圆O：x2y2a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()A. BC.1 D解析：选A.法一：如图所示，不妨设E在x轴上方，F为双曲线的右焦点，连接OE，PF，因为PF是圆O的切线，所以OEPE，又E，O分别为PF，FF的中点，所以|OE|PF|，又|OE|a，所以|PF|2a，
12、根据双曲线的性质，|PF|PF|2a，所以|PF|4a，所以|EF|2a，在RtOEF中，|OE|2|EF|2|OF|2，即a24a2c2，所以e，故选A.法二：连接OE，因为|OF|c，|OE|a，OEEF，所以|EF|b，设F为双曲线的右焦点，连接PF，因为O，E分别为线段FF，FP的中点，所以|PF|2b，|PF|2a，所以|PF|PF|2a，所以b2a，所以e.2(2023年汉中模拟)设F1(c，0)，F2(c，0)是双曲线C：1(a0，b0)的左，右焦点，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是F1PF2的平分线，过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ|()A为定值aB为定值bC为定值cD不确定，随P点位置变化而变化解析：选A.延长F1Q，PF2交于点M，则三角形PF1M为等腰三角形，可得Q为F1M的中点，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|F2M|2a，由三角形中位线定理可得|OQ|F2M|a，故选A.3以椭圆1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2.已知点M的坐标为(2，1)，双曲线C上的点P(x0，y0)(x00，y00)满足，则SPMF1SPMF2()A2 B4C1 D1解析：选A.由题意，知双曲线方程为1，|PF1|PF2|4，由，可得，即