1、能力升级练(十四)函数及其应用一、选择题1.函数y=1log0.5(4x-3)的定义域为()A.34,1B.34,+C.(1,+)D.34,1(1,+)解析要使函数有意义需满足4x-30,log0.5(4x-3)0,解得34x1.故选A.答案A2.设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数,则实数a的值为()A.-1B.-2C.-3D.-4解析设g(x)=x,h(x)=ex+ae-x,因为函数g(x)=x是奇函数,则由题意知,函数h(x)=ex+ae-x为奇函数,又函数f(x)的定义域为R,所以h(0)=0,解得a=-1.故选A.答案A3.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注
2、水,容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()解析由三视图可知此几何体为一底朝上的圆锥,向容器中匀速注水,说明单位时间内注入水的体积相等,因圆锥下面窄上面宽,所以下面的高度增加得快,上面的高度增加得慢,即图象应越来越平缓.故选B.答案B4.(2023贵州贵阳模拟)20世纪30年代,为了防范地震带来的灾害,里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅.已知5级地震给人的震感
3、已经比较明显,则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的()A.10倍B.20倍C.50倍D.100倍解析根据题意有lgA=lgA0+lg10M=lg(A010M).所以A=A010M,则A0107A0105=100.故选D.答案D5.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x1),则x=log2k,y=log3k,z=log5k,所以2x3y=2log2k3log3k=2lgklg2lg33lgk=2lg33lg2=lg9lg81,即2x3y.2x5z=2log2k5log5k=2lgklg2lg55lgk=2lg55lg2=l
4、g25lg321,所以2x5z.由,得3y2x5z.故选D.答案D6.函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2(x1x1f(x2),记a=12f(2),b=f(1),c=-13f(-3),则a,b,c之间的大小关系为()A.abcB.bacC.cbaD.acb解析因为对任意两个正数x1,x2(x1x1f(x2),所以f(x1)x1f(x2)x2,得函数g(x)=f(x)x在(0,+)上是减函数,又c=-13f(-3)=13f(3),所以g(1)g(2)g(3),即bac,故选B.答案B7.(2023全国,理7)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()解析当x=0时,y=20,
5、排除A,B;当x=12时,y=-124+122+22.排除C.故选D.答案D光速解题排除法:方法一:当x+时,y-,所以可以排除选项A和B,y=-x4+x2+2=-x2-122+94,所以x2=12,即x=22时,函数y=-x4+x2+2有最大值,所以排除选项C.方法二:当x=0时,y=20,所以可以排除选项A和B,当x=12时,y=35162,所以排除选项C.8.已知函数f(x)=2|x|+1+x3+22|x|+1的最大值为M,最小值为m,则M+m等于()A.0B.2C.4D.8解析f(x)=2(2|x|+1)+x32|x|+1=2+x32|x|+1,设g(x)=x32|x|+1,因为g(-
6、x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以g(x)max+g(x)min=0.因为M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,所以M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4.答案C9.设定义在R上的奇函数y=f(x),满足对任意tR,都有f(t)=f(1-t),且x0,12时,f(x)=-x2,则f(3)+f-32的值等于()A.-12B.-13C.-14D.-15解析由f(t)=f(1-t),得f(1+t)=f(-t)=-f(t),所以f(2+t)=-f(1+t)=f(t),所以f(x)的周期为2.又f(1)=f(1-1)=f(0)=0,所以f(
7、3)+f-32=f(1)+f12=0-122=-14.故选C.答案C10.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且x0时,f(x)=ln x-x+1,则函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)的零点个数是()A.0B.1C.2D.3解析当x0时,f(x)=lnx-x+1,f(x)=1x-1=1-xx,所以x(0,1)时f(x)0,此时f(x)单调递增;x(1,+)时,f(x)0时,f(x)max=f(1)=ln1-1+1=0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y=f(x)与y=ex的大致图象如图所示,观察到函数y=f(x)与y=ex的图象有两个交点,所以函数g(x)=f(x)-
8、ex(e为自然对数的底数)有2个零点.答案C11.(2023广东惠州第一次调研)已知函数y=f(x)的定义域为R,且满足下列三个条件:对任意的x1,x24,8,当x10恒成立;f(x+4)=-f(x);y=f(x+4)是偶函数.若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c的大小关系正确的是()A.abcB.bacC.acbD.cba解析由知函数f(x)在区间4,8上为单调递增函数;由知f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为8,所以c=f(2017)=f(2528+1)=f(1),b=f(11)=f(3);由可知函数f(x)的图象关于直线x=4对称,
9、所以b=f(3)=f(5),c=f(1)=f(7).因为函数f(x)在区间4,8上为单调递增函数,所以f(5)f(6)f(7),即ba0且a1)在区间(-2,6)内有且只有4个不同的实根,则实数a的取值范围是()A.14,1B.(1,4)C.(1,8)D.(8,+)解析因为f(x)为偶函数,且f(2+x)=f(2-x),所以f(4+x)=f(-x)=f(x),所以f(x)的周期为4,又当-2x0时,f(x)=22x-1,画出f(x)在(-2,6)上的大致图象,如图所示.若f(x)-loga(x+2)=0(a0且a1)在(-2,6)内有4个不同的实根,则y=f(x)的图象与y=loga(x+2)
10、的图象在(-2,6)内有4个不同的交点.所以a1,loga(6+2)8,故选D.答案D二、填空题13.计算:2log410-12log225+823-(-3)0=.解析2log410-12log225+823-(-3)0=212log210-log25+(23)23-1=log2105+22-1=1+4-1=4.答案414.已知函数f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.解析令g(x)=ln(1+x2-x),g(-x)=ln(1+x2+x),g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0,g(x)为奇函数.f(x)=g(x)+1.f(a)+f(-a)=g(a)+1+
11、g(-a)+1=2.f(-a)=-2.答案-215.已知函数f(x)=x|x-a|,若对任意的x1,x22,+),且x1x2,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0恒成立,则实数a的取值范围为.解析f(x)=x(x-a),xa,-x(x-a),x0知,函数y=f(x)在2,+)单调递增,当a0时,满足题意;当a0时,根据函数图象可知只需a2,即0a2,综上所述,a2.答案a|a216.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上是单调增函数.如果实数t满足f(ln t)+fln1t2f(1)时,那么t的取值范围是.解析因为函数f(x)是偶函数,所以fln1t=f(-lnt)=f(ln
12、t)=f(|lnt|).则有f(lnt)+fln1t2f(1)2f(lnt)2f(1)f(|lnt|)f(1)|lnt|11ete.答案1e,e17.已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质:直线x=1是函数f(x)的一条对称轴;f(x+2)=-f(x);当1x1x23时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)f(2)f(3),即f(2013)f(2012)f(2011).答案f(2 013)f(2 012)f(2 011)18.已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:对于任意的xR,都有f(x+1)=1f(x);函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称;对于任意的x1,x20,1,且x1f(x2),则f32,f(2),f(3)从小到大的关系是.解析由得f(x+2)=f(x+1+1)=1f(x+1)=f(x),所以函数f(x)的周期为2.因为函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称,将函数y=f(x+1)的图象向右平移一个单位即得y=f(x)的图象,所以函数y=f(x)的图象关于x=1对称;根据可知函数f(x)在0,1上为减函数,又结合知,函数f(x)在1,2上为增函数.因为f(3)=f(2+1)=f(1),在区间1,2上,1322,所以f(1)f32f(2),即f(3)f32f(2).答案f(3)f32f(2)9