1、能力升级练(十)空间中的平行与垂直关系一、选择题1.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若bc,则ab,与已知a,b为异面直线相矛盾.答案C2.设为平面,a、b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是()A.若a,b,则abB.若a,ab,则bC.若a,ab,则bD.若a,ab,则b解析若a,b,则a与b相交、平行或异面,故A错误;易知B正确;若a,ab,则b或b,故C错误;若a,ab,则b或b或b与相交,故D错误.故选B.答案B
2、3.设l是直线,是两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若l,l,则B.若l,l,则C.若,l,则lD.若,l,则l解析对于A,若l,l,则或与相交,故A错;易知B正确;对于C,若,l,则l或l,故C错;对于D,若,l,则l与的位置关系不确定,故D错.故选B.答案B4.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BCDC.平面ABC平面BDE,且平面ACD平面BDED.平面ABC平面ACD,且平面ACD平面BDE解析因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BEAC,同理,DEAC,由于DEBE=E,于
3、是AC平面BDE.因为AC平面ABC,所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE.故选C.答案C5.已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出四个命题:若=m,n,nm,则;若m,m,则;若m,n,mn,则;若m,n,mn,则.其中正确的命题是()A.B.C.D.解析两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况,不正确;垂直于同一条直线的两个平面平行,正确;当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时,它们所成的二面角为直二面角,故正确;当两个平面相交时,分别与两个平面平行的直线也平行,故不正确.答案B6.如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的
4、四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45解析连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,则A1C1=2,A1B=BC1=5,在A1BC1中,由余弦定理得cosA1BC1=5+5-2255=45.答案D7.(2023江西赣州模拟)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,且BC1AC,过C1作C1H底面ABC,垂足为H,则点H在()A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.ABC内部解析连接AC1,如图.BAC=90,
5、ACAB,BC1AC,BC1AB=B,AC平面ABC1.又AC在平面ABC内,根据面面垂直的判定定理,知平面ABC平面ABC1,则根据面面垂直的性质定理知,在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线,垂足必落在直线AB上.故选B.答案B8.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=1,将ACD沿AC折起,使得D折起后的位置为D1,且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上,在四面体D1ABC的四个面中,有n对平面相互垂直,则n等于()A.2B.3C.4D.5解析如图,设D1在平面ABC上的射影为E,连接D1E,则D1E平面ABC,因为D1E平面ABD1,所以平面ABD1平面ABC.因为D1E平面A
6、BC,BC平面ABC,所以D1EBC,又ABBC,D1EAB=E,所以BC平面ABD1,又BC平面BCD1,所以平面BCD1平面ABD1,因为BC平面ABD1,AD1平面ABD1,所以BCAD1,又CD1AD1,BCCD1=C,所以AD1平面BCD1,又AD1平面ACD1,所以平面ACD1平面BCD1.所以共有3对平面互相垂直.故选B.答案B二、填空题9.(2023广东广州调研)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点M为CC1的中点,点N为线段DD1上靠近D1的三等分点,平面BMN交AA1于点Q,则线段AQ的长为.解析如图所示,在线段DD1上靠近点D处取一点T,使得DT=13,因为N是
7、线段DD1上靠近D1的三等分点,故D1N=23,故NT=2-13-23=1,因为M为CC1的中点,故CM=1,连接TC,由NTCM,且CM=NT=1,知四边形CMNT为平行四边形,故CTMN,同理在AA1上靠近A处取一点Q,使得AQ=13,连接BQ,TQ,易知TQBC,TQ=BC,即四边形BCTQ是平行四边形,则有BQCTMN,故BQ与MN共面,即Q与Q重合,故AQ=13.答案1310.如图,ACB=90,DA平面ABC,AEDB交DB于点E,AFDC交DC于点F,且AD=AB=2,则三棱锥D-AEF体积的最大值为.解析因为DA平面ABC,所以DABC,又BCAC,DAAC=A,所以BC平面A
8、DC,所以BCAF.又AFCD,BCCD=C,所以AF平面DCB,所以AFEF,AFDB.又DBAE,AEAF=A,所以DB平面AEF,所以DE为三棱锥D-AEF的高.因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高,所以AE=2,设AF=a,FE=b,则AEF的面积S=12ab12a2+b22=1222=12,所以三棱锥D-AEF的体积V13122=26(当且仅当a=b=1时等号成立).答案2611.(2023云南昆明调研)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=4,AA1=2.过点A1作平面与AB,AD分别交于M,N两点,若AA1与平面所成的角为45,则截面A1MN面积的最小值是.解析如
9、图,过点A作AEMN,连接A1E,因为A1A平面ABCD,所以A1AMN,所以MN平面A1AE,所以A1EMN,平面A1AE平面A1MN,所以AA1E为AA1与平面A1MN所成的角,所以AA1E=45,在RtA1AE中,因为AA1=2,所以AE=2,A1E=22,在RtMAN中,由射影定理得MEEN=AE2=4,由基本不等式得MN=ME+EN2MEEN=4,当且仅当ME=EN,即E为MN的中点时等号成立,所以截面A1MN面积的最小值为12422=42.答案4212.矩形ABCD中,AB=3,BC=1,将ABC与ADC沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(包含初
10、始状态)为.解析根据题意,在初始状态时,直线AD与直线BC成的角为0,当BD=2时,ADDB,ADDC,且DBDC=D,所以AD平面DBC,又BC平面DBC,故ADBC,直线AD与BC成的角为2,所以在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围(包含初始状态)为0,2.答案0,2三、解答题13.如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD、BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为
11、平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD且BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又因为ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.14.如图所示,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.求证:(1)AF平面BCE;(2)平面BCE平面CDE.证明(1)如图,取CE的中点G,连接FG,BG.因为F为CD的中点,所以GFDE且GF=12DE.因为AB平面ACD,DE平面ACD,所以ABDE,所以GFAB.又因为AB=12DE,所以GF=AB.所以四边形GFAB为平行四边形,则AFBG.因为AF平面BCE,BG平面BCE,所以AF平面BCE.(2)因为ACD为等边三角形,F为CD的中点,所以AFCD.因为DE平面ACD,AF平面ACD,所以DEAF.又CDDE=D,所以AF平面CDE.因为BGAF,所以BG平面CDE.又因为BG平面BCE,所以平面BCE平面CDE.11