1、一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系一、知识要点：1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式 是用来判别一元二次方程根的情况的；即方程有 的实数根；方程有 的实数根；方程 无实数根。2、（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。（2）以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 。二、典例精析：一元二次方程根的判别式根底知识例1、不解方程，判断关于x的方程(6m-1)x2+6mx+2=0的根的情况。跟踪练习1、不解方程判断以下方程的根的情况（1）2x2+3x-4=0（2）3x2+x+5=0（4）7
2、x2+(m+5)x+m-6=0例2、假设关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个实数根，求m的取值范围。跟踪练习关于x的方程(m-1)x2+2(m+2)x+m=0，根据以下条件求实数m的取值范围：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）有两个实数根；（4）没有实数根；（5）有实数根。拓展研究例3、：方程x2-2ax+a2-a-1=0有两个实数根，化简。跟踪练习关于x的方程有两个不相等的实数根。（1）求m的取值范围；（2）化简。例4、a、b、c分别为ABC三条边的长，并且关于x的二次方程2ax2+2bx+c=0有两个相等的实数根，当B=90o时试判断ABC的形状。例
3、5、x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必定有两个不相等的实数根。同步练习：（中考链接）1、（2023上海金山）以下一元二次方程没有实数解的是（ ）A、x2-2x-1=0B、(x-1)(x-3)=0C、x2-2=0D、x2+x+1=02、（2023四川）关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（ ）A、-2B、-1C、0D、13、（2023北京石景山）假设关于x的方程2x2-ax+a-2=0有两个相等的实数根，那么a的值是 。4、（2023天津）关于x的一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么
4、m的取值范围是 。5、（2023浙江宁波）：关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）当m选取一个适宜的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根。一元二次方程根与系数的关系例1、设x1，x2是方程x2-6x+3=0的两个根，利用根与系数的关系求以下各式的值。（1）x1+x2（2）x1x2（3）x12+x22（4）（5）|x1-x2|跟踪练习假设方程2x2-2x-1=0的两根为、，不解方程，求+= ，= ，2+2= ，= ，（-1）（-1）= 。例2、方程2x2+kx-8=0的一个根是，求另一个根及k的值。跟踪练习一元二次方程x2+4x-m=0
5、的一个根为，那么另一个根是 ，且m= 。例3、关于x的方程2x2-mx-2m+1=0的两个实数的平方和等于，求m的值。跟踪练习1、（2023重庆市）关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x-m2=0的两个不相等的实数根为、，满足，求m的值。2、方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根且这两个实数根的平方和比两个实数根的积大21，求m的值。例4、一元二次方程的根为3，-4，求这个方程。跟踪练习一元二次方程的根为-1，2，求这个方程。例5、（2023青岛市）2+-1=0，2+-1=0且，那么+的值为 。同步练习：1、（2023兰州）假设x1，x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，那么的值为 。2、（2023成都）x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx-1=0的一个根，那么实数k的值是 。3、（2023锦州）设方程x2+x-2=0的两个根为、，那么（-1）（-1）的值等于 。4、是关于x的方程x2-4x+c=0的一个根，那么c的值是 。5、假设方程组的解是某个一元二次方程的两个根，那么这个一元二次方程是 。6、一元二次方程x2-2x+m-1=0。（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根。（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2=1，求m的值。