1、能力升级练(二十六)转化与化归思想一、选择题1.若a2,则关于x的方程13x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有()A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根解析设f(x)=13x3-ax2+1,则f(x)=x2-2ax=x(x-2a),当x(0,2)时,f(x)0,f(x)在(0,2)上为减函数.又f(0)f(2)=183-4a+1=113-4a0,所以f(x)=0在(0,2)上恰好有1个根.答案B2.如图所示,已知三棱锥P-ABC,PA=BC=234,PB=AC=10,PC=AB=241,则三棱锥P-ABC的体积为()A.40B.80C.160D.240解析因为三棱锥P-ABC的三组对边两
2、两相等,则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示).把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC,易知三棱锥P-ABC的各边分别是此长方体的面对角线,不妨令PE=x,EB=y,EA=z,则由已知,可得x2+y2=100,x2+z2=136,y2+z2=164x=6,y=8,z=10.从而知VP-ABC=VAEBG-FPDC-VP-AEB-VC-ABG-VB-PDC-VA-FPC=VAEBG-FPDC-4VP-AEB=6810-4166810=160.答案C3.定义运算:(ab)x=ax2+bx+2.若关于x的不等式(ab)x0的解集为x|1x2,则关于x的不等式(ba)x0的解集为
3、()A.(1,2)B.(-,1)(2,+)C.-23,1D.-,-23(1,+)解析1,2是方程ax2+bx+2=0的两实根,1+2=-ba,12=2a,解得a=1,b=-3.所以(-31)x=-3x2+x+20,解得x1.答案D4.已知OA=(cos 1,2sin 1),OB=(cos 2,2sin 2),若OA=(cos 1,sin 1),OB=(cos 2,sin 2),且满足OAOB=0,则OAB的面积等于()A.12B.1C.2D.4解析由条件OAOB=0,可得cos(1-2)=0.利用特殊值,如设1=2,2=0,代入,则A(0,2),B(1,0),故OAB的面积为1.答案B5.已知
4、函数f(x)=4sin24+x-23cos 2x+1且给定条件p:“4x2”,又给定条件q:“|f(x)-m|2”,且p是q的充分条件,则实数m的取值范围是()A.(3,5)B.(-2,2)C.(1,3)D.(5,7)解析f(x)=4sin24+x-23cos2x+1=21-cos2+2x-23cos2x+1=2sin2x-23cos2x+3=4sin2x-3+3.令t=2x-3,当4x2时,f(x)=g(t)=4sint+3,6t23,当4x2时,f(x)max=7,f(x)min=5.p是q的充分条件,对x4,2,|f(x)-m|2恒成立,即m-2f(x)m+2恒成立m-2f(x)max,
5、即m-27,解得5m0,即(2m+1)(6m2-2m+1)0,m-12.即当m0,b0,当AB有且只有一个元素时,a,b满足的关系式是.解析AB有且只有一个元素可转化为直线xa-yb=1与圆x2+y2=1相切,故圆心到直线的距离为|ab|b2+a2=1.a0,b0,ab=a2+b2.答案ab=a2+b28.已知数列an满足a1=1,an+1=an2+an,用x表示不超过x的最大整数,则1a1+1+1a2+1+1a2013+1=.解析因为1an+1=1an(an+1)=1an-1an+1,所以1an+1=1an-1an+1,所以1a1+1+1a2+1+1a2013+1=1a1-1a2+1a2-1
6、a3+1a2013-1a2014=1a1-1a2014,又a1=1,所以1a2014(0,1),所以1a1-1a2014(0,1),故1a1-1a2014=0.答案09.在各棱长都等于1的正四面体OABC中,若点P满足OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),则|OP|的最小值等于.解析因为点P满足OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),所以点P与A、B、C共面,即点P在平面ABC内,所以|OP|的最小值等于点O到平面ABC的距离,也就是正四面体的高,为63.答案63三、解答题10.如图,已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,其中BEAF,ABAF,AB=BE=1
7、2AF=2,CBA=3.(1)求证:AFBC;(2)线段AB上是否存在一点G,使得直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为9331,若存在,求AG的长;若不存在,说明理由.(1)证明菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,ABAF,AF平面ABCD,BC平面ABCD,AFBC.(2)解取AB的中点O,连接CO,则COAB,平面ABCD平面ABEF,CO平面ABEF.建立如图所示的空间直角坐标系,则D(-2,0,3),F(-1,4,0),E(1,2,0),DF=(1,4,-3),EF=(-2,2,0),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则nDF=0,nEF=0,即x+4y-3z=
8、0,-2x+2y=0,取n=1,1,533,设G(,0,0),-1,1,则GF=(-1,4,0).直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为9331,|-1+4|(+1)2+16313=9331,=-1-1,1,AG=0,直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为9331.11.已知函数f(x)=x2-8x+aln x(aR).(1)当x=1时,f(x)取得极值,求a的值,并判断x=1是极大值点还是极小值点;(2)当函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1t(4+3x1-x12)成立,求t的取值范围.解(1)f(x)=2x2-8x+ax(x0),f(1)=0,则a=6.从而f(x)=2(x-1)(x-
9、3)x(x0),所以x(0,1)时,f(x)0,f(x)为增函数.x(1,3)时,f(x)0,f(x)为减函数,所以x=1为极大值点.(2)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)有两个极值点x1,x2(x1x2),则2x2-8x+a=0在(0,+)上有两个不相等的实根,所以0a8,由x1+x2=4,x1x2=a2,x1x2可得0x12,a=2x1(4-x1),从而问题转化为在0x1t(4+3x1-x12)成立.即2x1(4-x1)lnx11-x1t(4+3x1-x12)成立.即2x1lnx11-x1t(x1+1),即2x1lnx11-x1-t(x1+1)0,亦即x11-x12lnx1+t(x12-1)x10.令h(x)=2lnx+t(x2-1)x(0x2),则h(x)=tx2+2x+tx2(0x0,则h(x)在(0,2)上为增函数且h(1)=0,式不成立.()当t0,即-1t1,令x0=min-1t,2,则1x0,不合题意.综上可知,t-1满足题意,故t的取值范围为(-,-1.9