1、能力升级练(六)解三角形一、选择题1.在ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则BAC=()A.6B.3C.23D.56解析在ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理,得cosBAC=b2+c2-a22bc=9+25-4930=-12,由A(0,),得A=23,即BAC=23.答案C2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cos A=23,则b=()A.2B.3C.2D.3解析由余弦定理,得5=b2+22-2b223,解得b=3,或b=-13(舍去).答案D3.已知ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若A=3,b=2acos
2、 B,c=1,则ABC的面积等于()A.32B.34C.36D.38解析由正弦定理得sinB=2sinAcosB,故tanB=2sinA=2sin3=3,又B(0,),所以B=3,则ABC是正三角形,所以SABC=12bcsinA=34.答案B4.在ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则ABC的形状一定是()A.等边三角形B.不含60的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形解析sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C)=1-2cosAsinB,sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB,sinAcosB+cosAsinB=1,即s
3、in(A+B)=1,则有A+B=2,故三角形为直角三角形.答案D5.(2023广东深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60,则塔高为()A.4003 mB.40033 mC.20033 mD.2003 m解析如图所示.在RtACD中可得CD=20033=BE,在ABE中,由正弦定理得ABsin30=BEsin60,则AB=2003,所以DE=BC=200-2003=4003(m).答案A6.在ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰
4、直角三角形解析因为cos2B2=a+c2c,所以2cos2B2-1=a+cc-1,所以cosB=ac,所以a2+c2-b22ac=ac,所以c2=a2+b2.所以ABC为直角三角形.答案B7.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为()A.33B.233C.36D.433解析由bsinC+csinB=4asinBsinC及正弦定理,得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,易知sinBsinC0,sinA=12.又b2+c2-a2=8,cosA=b2+c2-a22bc=4bc,则cos
5、A0.cosA=32,即4bc=32,则bc=833.ABC的面积S=12bcsinA=1283312=233.答案B8.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C两点间的距离是()A.102海里B.103海里C.203海里D.202海里解析如图所示,易知,在ABC中,AB=20,CAB=30,ACB=45,根据正弦定理,得BCsin30=ABsin45,解得BC=102(海里).答案A9.(2023山东济宁模拟)在ABC中,角A,B,C的对边
6、分别为a,b,c,若A=3,3sin2CcosC=2sin Asin B,且b=6,则c=()A.2B.3C.4D.6解析在ABC中,A=3,b=6,a2=b2+c2-2bccosA,即a2=36+c2-6c,又3sin2CcosC=2sinAsinB,3c2cosC=2ab,即cosC=3c22ab=a2+b2-c22ab,a2+36=4c2,由解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).c=4.答案C二、填空题10.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若
7、此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为米.解析连接OC,由题意知CD=150米,OD=100米,CDO=60.在COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CDODcos60,即OC=507.答案50711.在ABC中,角A,B,C的对边a,b,c成等差数列,且A-C=90,则cos B=.解析a,b,c成等差数列,2b=a+c,2sinB=sinA+sinC.A-C=90,2sinB=sin(90+C)+sinC,2sinB=cosC+sinC,2sinB=2sin(C+45).A+B+C=180且A-C=90,C=45-B2,代入式中,2sinB=2sin90-B2,2sinB
8、=2cosB2,4sinB2cosB2=2cosB2,sinB2=24,cosB=1-2sin2B2=1-14=34.答案3412.如图,在ABC中,B=45,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB=.解析在ACD中,由余弦定理可得cosC=49+9-25273=1114,则sinC=5314.在ABC中,由正弦定理可得ABsinC=ACsinB,则AB=ACsinCsinB=7531422=562.答案56213.在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若sinAsinB=5c2b,sin B=74,SABC=574,则b的值为.解析由sinAsinB=
9、5c2b及正弦定理,得ab=5c2b,即a=52c,由SABC=12acsinB=574,sinB=74,得12ac=5,联立,得a=5,c=2.由sinB=74且B为锐角,得cosB=34,由余弦定理,得b2=25+4-25234=14,b=14.答案14三、解答题14.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15,经过420 s后看山顶的俯角为45,则山顶的海拔高度为多少米?(取21.4,31.7)解如图,作CD垂直于线段AB的延长线于点D,由题意知A=15,DBC=45,所以ACB=30,AB=
10、50420=21000(m).又在ABC中,BCsinA=ABsinACB,所以BC=2100012sin15=10500(6-2).因为CDAD,所以CD=BCsinDBC=10500(6-2)22=10500(3-1)7350(m).故山顶的海拔高度为10000-7350=2650(m).15.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-ab-2b2=0.(1)若B=6,求A,C;(2)若C=23,c=14,求SABC.解(1)由已知B=6,a2-ab-2b2=0结合正弦定理,得sin2A-sinAsin6-2sin26=0,化简整理,得2sin2A-sinA-1=0,于是sinA=1或sinA=-12(舍).因为0A0,所以a-2b=0,即a=2b,联立解得b=27,a=47.所以SABC=12absinC=143.9