1、能力升级练(十三)函数及其应用一、选择题1.函数y=1log0.5(4x-3)的定义域为()A.34,1B.34,+C.(1,+)D.34,1(1,+)解析要使函数有意义需满足4x-30,log0.5(4x-3)0,解得34x1.故选A.答案A2.设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数,则实数a的值为()A.-1B.-2C.-3D.-4解析设g(x)=x,h(x)=ex+ae-x,因为函数g(x)=x是奇函数,则由题意知,函数h(x)=ex+ae-x为奇函数,又函数f(x)的定义域为R,所以h(0)=0,解得a=-1.故选A.答案A3.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注
2、水,容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()解析由三视图可知此几何体为一底朝上的圆锥,向容器中匀速注水,说明单位时间内注入水的体积相等,因圆锥下面窄上面宽,所以下面的高度增加得快,上面的高度增加得慢,即图象应越来越平缓.故选B.答案B4.(2023贵州贵阳模拟)20世纪30年代,为了防范地震带来的灾害,里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅.已知5级地震给人的震感
3、已经比较明显,则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的()A.10倍B.20倍C.50倍D.100倍解析根据题意有lgA=lgA0+lg10M=lg(A010M).所以A=A010M,则A0107A0105=100.故选D.答案D5.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x1),则x=log2k,y=log3k,z=log5k,所以2x3y=2log2k3log3k=2lgklg2lg33lgk=2lg33lg2=lg9lg81,即2x3y.2x5z=2log2k5log5k=2lgklg2lg55lgk=2lg55lg2=l
4、g25lg321,所以2x5z.由,得3y2x5z.故选D.答案D6.函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个正数x1,x2(x1x1f(x2),记a=12f(2),b=f(1),c=-13f(-3),则a,b,c之间的大小关系为()A.abcB.bacC.cbaD.acb解析因为对任意两个正数x1,x2(x1x1f(x2),所以f(x1)x1f(x2)x2,得函数g(x)=f(x)x在(0,+)上是减函数,又c=-13f(-3)=13f(3),所以g(1)g(2)g(3),即bac,故选B.答案B7.(2023全国,文9)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()解析当x=0时,y=20,
5、排除A,B;当x=12时,y=-124+122+22.排除C.故选D.答案D光速解题排除法:方法一:当x+时,y-,所以可以排除选项A和B,y=-x4+x2+2=-x2-122+94,所以x2=12,即x=22时,函数y=-x4+x2+2有最大值,所以排除选项C.方法二:当x=0时,y=20,所以可以排除选项A和B,当x=12时,y=35162,所以排除选项C.8.已知函数f(x)=2|x|+1+x3+22|x|+1的最大值为M,最小值为m,则M+m等于()A.0B.2C.4D.8解析f(x)=2(2|x|+1)+x32|x|+1=2+x32|x|+1,设g(x)=x32|x|+1,因为g(-
6、x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,所以g(x)max+g(x)min=0.因为M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,所以M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4.答案C9.已知函数f(x)=4x与g(x)=x3+t,若f(x)与g(x)的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是()A.(-6,0B.(-6,6)C.(4,+)D.(-4,4)解析根据题意可以得函数图象.g(x)在x=2处的取值大于2,在点x=-2处的取值小于-2,可得g(2)=23+t=8+t2,g(-2)=(-2)3+t=-8+t0时,f(x)=ln x-x+1,则
7、函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)的零点个数是()A.0B.1C.2D.3解析当x0时,f(x)=lnx-x+1,f(x)=1x-1=1-xx,所以x(0,1)时f(x)0,此时f(x)单调递增;x(1,+)时,f(x)0时,f(x)max=f(1)=ln1-1+1=0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y=f(x)与y=ex的大致图象如图所示,观察到函数y=f(x)与y=ex的图象有两个交点,所以函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)有2个零点.答案C11.(2023广东惠州第一次调研)已知函数y=f(x)的定义域为R,且满足下列三个条件:对任意的x1,
8、x24,8,当x10恒成立;f(x+4)=-f(x);y=f(x+4)是偶函数.若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c的大小关系正确的是()A.abcB.bacC.acbD.cba解析由知函数f(x)在区间4,8上为单调递增函数;由知f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为8,所以c=f(2017)=f(2528+1)=f(1),b=f(11)=f(3);由可知函数f(x)的图象关于直线x=4对称,所以b=f(3)=f(5),c=f(1)=f(7).因为函数f(x)在区间4,8上为单调递增函数,所以f(5)f(6)f(7),即ba0且a1)在区
9、间(-2,6)内有且只有4个不同的实根,则实数a的取值范围是()A.14,1B.(1,4)C.(1,8)D.(8,+)解析因为f(x)为偶函数,且f(2+x)=f(2-x),所以f(4+x)=f(-x)=f(x),所以f(x)的周期为4,又当-2x0时,f(x)=22x-1,画出f(x)在(-2,6)上的大致图象,如图所示.若f(x)-loga(x+2)=0(a0且a1)在(-2,6)内有4个不同的实根,则y=f(x)的图象与y=loga(x+2)的图象在(-2,6)内有4个不同的交点.所以a1,loga(6+2)8,故选D.答案D二、填空题13.计算:2log410-12log225+823
10、-(-3)0=.解析2log410-12log225+823-(-3)0=212log210-log25+(23)23-1=log2105+22-1=1+4-1=4.答案414.已知函数f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.解析令g(x)=ln(1+x2-x),g(-x)=ln(1+x2+x),g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0,g(x)为奇函数.f(x)=g(x)+1.f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2.f(-a)=-2.答案-215.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位:万元)
11、,当年产量不足80千件时,G(x)=13x2+10x;当年产量不小于80千件时,G(x)=51x+10000x-1 450.已知每件产品的售价为0.05万元.通过市场分析,该工厂生产的产品能全部售完,则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是万元.解析因为每件产品的售价为0.05万元,所以x千件产品的销售额为0.051000x=50x万元.当0x80时,年利润L(x)=50x-13x2-10x-250=-13x2+40x-250=-13(x-60)2+950,所以当x=60时,L(x)取得最大值,且最大值为L(60)=950万元;当x80时,L(x)=50x-51x-10000x+1450
12、-250=1200-x+10000x1200-2x10000x=1200-200=1000,当且仅当x=10000x,即x=100时,L(x)取得最大值1000万元.由于950x2),若不等式f(x1)-f(x2)g(x1)-g(x2)恒成立,则称函数f(x)相对于函数g(x)在区间D上是“渐先函数”.已知函数f(x)=ax2+ax相对于函数g(x)=2x-3在区间a,a+2上是渐先函数,则实数a的取值范围是.解析设ax2g(x1)-g(x2)恒成立,即ax12+ax1-(ax22+ax2)2x1-3-(2x2-3)恒成立,即a(x1-x2)(x1+x2+1)2(x1-x2).因为x1x2,故
13、不等式转化为a(x1+x2+1)2恒成立.因为ax2x1a+2,所以2a+1x1+x2+10时,不等式恒成立转化为a(2a+1)2,即2a2+a-20,解得a-1+174;当a0时,不等式恒成立转化为a(2a+5)2,即2a2+5a-20,解得a-5-414.所以a的取值范围是-,-5-414-1+174,+.答案-,-5-414-1+174,+18.已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:对于任意的xR,都有f(x+1)=1f(x);函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称;对于任意的x1,x20,1,且x1f(x2),则f32,f(2),f(3)从小到大的关系是.解析由得f(x+2)=f(x+1+1)=1f(x+1)=f(x),所以函数f(x)的周期为2.因为函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称,将函数y=f(x+1)的图象向右平移一个单位即得