1、28反函数一、明确复习目标1了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数；2掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用y=f(x)与y=f -1(x)的关系和性质解决一些问题;二建构知识网络1.反函数概念：假设函数y=fxxA的值域为C，由y=fx解得x=y.如果对于任何yC，通过x=y，在A中都有唯一的x和它对应,那么x=y就叫做函数y=fxxA的反函数，记作x=f1yyC是自变量，x是自变量y的函数.习惯上，一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常对调x=f1y中的x、y，把它改写成y=f1x(xC)由反函数定义知：b=faa=f1b，ff1x=xxC； f1f
2、x=xxA.2.求反函数的步骤：1由y=fx解得x=f1y.2确定原函数的值域,即反函数的定义域;(3)把x=f1y中的x、y互换，写出反函数,(及定义域)3.互为反函数图象间的关系：互为反函数的两个函数y=fx与y=f1x在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称.注意：x=f -1(y)表示的图象与y=f(x)的图象相同。4.单调函数必有反函数；互为反函数的单调性一致；奇函数如果有反函数必为奇函数。三、双基题目练练手1、2023全国反函数是 A. B.C. D.2、 (2023全国)函数的反函数是( )A.-1 B.-1C.(0) D. (0)3、函数 的图象与的图象关于直线对称，那么g(
3、11)等于 A B C D4.定义在R上的函数f(x)的最小正周期是T,且y=f(x),x(0,T)的反函数是y=f -1(x),xM,那么函数y=f(x),x(2T,3T)的反函数为( )A.y=f -1(x) (xM), B.y=f -1(x-2T) (xM) C. .y=f -1(x+2T) (xM) D. .y=f -1(x)+2T (xM)5、2023湖南设函数f(x)的图象关于点1，2对称，且存在反函数f1(x)，f (4)0，那么f1(4) .6、定义在R上的函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),那么y=f(x+a)+b与y=f -1(x+a)+b关于 对称。简答精讲:1-
4、4、CBAD；5、-2；4；6、y=x+a+b3、设5、由得；6、y=f(x+a)+b与y=f -1(x+a)+b是y=f(x)与y=f -1(x)按向量-a,b平移而得，所以对称轴也跟着平移，变为y=x+a+b四、经典例题做一做【例1】求以下函数的反函数：1；2；3;解：1由得，所求函数的反函数为;2当时，当时，得，所求函数的反函数为3由得，所求反函数为.提炼方法：1.求反函数的步骤:2.分段函数的反函数要分段求. 并注意原函数在每段上的值域.【例2】函数fx=的图象关于直线y=x对称，求实数m.解：fx的图象关于直线y=x对称，又点5，0在fx的图象上，点0，5也在fx的图象上，即=5，得
5、m=1.法二：由，有反函数。由于fx的图象关于y=x对称，与f -1x相同，比拟系数得m=1.提炼方法：法1.找一特殊点(5,0)的对称点在图象上;法2.f(x) 与f -1(x)相同,比拟系数.【例3】函数fx=2a0，且a1.1求反函数y=f1x；2判定f1x的奇偶性；3解不等式f1x1.解：1化简，得fx=.设y=，那么ax=.x=loga.所求反函数为y=f1x=loga1x1.2f1x=loga=loga1=loga=f1x，f1x是奇函数.3loga1.当a1时，原不等式a0.x1.当0a1时，原不等式解得1x.综上，当a1时，所求不等式的解集为，1；当0a1时，所求不等式的解集为
6、1，.【研究.欣赏】函数fx是函数y=1xR的反函数，函数gx的图象与函数y=的图象关于直线y=x1成轴对称图形，记Fx=fx+gx.1求Fx的解析式及定义域.2试问在函数Fx的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直假设存在，求出A、B两点坐标；假设不存在，说明理由.解：1由y=1xR，得10x=，x=lg.fx=lg1x1.设Px，y是gx图象上的任意一点，那么P关于直线y=x1的对称点P的坐标为1+y，x1.由题设知点P1+y，x1在函数y=的图象上，x1=.y=，即gx=x2.Fx=fx+gx=lg+，其定义域为x|1x1.2fx=lg=lg1+1x1是减函数，gx
7、=1x1也是减函数，Fx在1，1上是减函数.故不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直.点评：此题是一道综合题，解决第2小题常用的方法是反证法，但此题巧用单调性法使问题变得简单明了.五提炼总结以为师1、反函数定义2、求反函数的步骤3、互为反函数性质及图象间的关系同步练习 28反函数【选择题】12023江苏卷函数的反函数的解析表达式为( )A BC D2、2023辽宁与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为 AB C D 3、2023天津设函数的反函数是，那么使成立的x的取值范围为 A.B. C. D.【填空题】4、假设函数yx，xR的图象关于直线yx对称，那么a的值为_.5、函数，其
8、反函数的图象的对称中心是 ， 那么实数= 6、函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x)，函数y=f(2x-1)+1的反函数为 简答：1-3：AAB； 4、a1；5、2；6、提示：4、点0，1在原函数图象上，那么1，0也在原函数图象上，代入得a1；6、由y-1=f(2x-1) 得2x-1=f -1(y-1), ,互换x,y即得反函数。【解答题】7、 求函数fx=的反函数.解：当x1时，y=x212，且有x=，此时反函数为y=x2.当x1时，y=x+12，且有x=y+1，此时反函数为y=x+1x2.fx的反函数f1x= 点评：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函
9、数也是分段函数.8、设函数，又函数与的图象关于对称，求的值解法一：由得，与互为反函数，由，得解法二：由得，9、函数fx=a+bx1b0，b1的图象经过点1，3，函数f1x+aa0的图象经过点4，2，试求函数f1x的表达式.解：函数fx=a+bx1b0，b1的图象经过点1，3，a+b0=3，a=3b0=31=2.又函数f1x+aa0的图象经过点4，2，f14+a=2.f2=4+a=4+2=6，即2+b21=6.b=4.故fx=2+4x1.再求其反函数即得f1x=log4x2+1x2.10、，是上的奇函数1求的值，2求的反函数，3对任意的解不等式解：1由题知，得，此时，即为奇函数2，得，3，当时，原不等式的解集，当时，原不等式的解集【探索题】10.函数fx=2x1.1求fx的反函数f1x；2判定f1x在其定义域内的单调性；3假设不等式1f1xaa对x，恒成立，求实数a的取值范围.解：1由y=2，得x=.又y=12，且x1，0y1.f1x=0x1.2设0x1x21，那么0，10，10.f1x1f1x2=0，即f1x1f1x2.f1x在0，1上是增函数.3由题设有1aa.1+a2a，即1+a+1a20对x，恒成立.显然a1.令t=，x，t，那么gt=1+at+1a20对t，恒成立.由于gt=1+at+1a2是关于t的一次函数，g0且g0，即解得1a.