1、83抛物线方程及性质一、明确复习目标掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质,了解圆锥曲线的初步应用二建构知识网络1抛物线的定义：到一个定点F的距离与到一条定直线L的距离相等的点的轨迹2标准方程：y2=2px, y2= -2px, x2=2py, x2= -2py (p0)图形略： 3几何性质：对于抛物线y2=2px要掌握如下性质：对称轴, 顶点坐标,焦点坐标, 准线方程离心率 ,焦准距, 焦半经rmin4焦点弦： 对于y2=2px,过焦点的弦A(x1,y1)B(x2,y2)有，通径：过焦点垂直于轴的弦长为。5焦半径为直径的圆与y轴相切, 焦点弦为直径的圆与准线相切三、双基题目练练手1
2、(2023江苏)抛物线上的一点M到焦点的距离为1，那么点M的纵坐标是 ABCD02 (2023上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，那么这样的直线 A有且仅有一条B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在3 焦点在直线x2y4=0上的抛物线的标准方程是 ( )A y2=16x B y2=16x Cx2=8y D以上说法都不对4过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，假设PF与FQ的长分别为p、q,那么等于 ( )A B C D 5 以以下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A0，9，其轨迹方程是y=ax2+ca0，D=6，7为x轴上的给定区间为使物
3、体落在D内，a的取值范围是_；AxOy676抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点Mx0, y0，F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N那么点N的坐标是_用x0表示；简答：1-4BBDC； 4考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,5把点A的坐标0，9代入y=ax2+c得c=9，即运动物体的轨迹方程为y=ax2+9令y=0，得ax2+9=0，即x2=假设物体落在D内，应有67，解得a 6.N(x0+4, 0)四、经典例题做一做【例1】给定抛物线y2=2x，设Aa，0，a0，P是抛物线上的一点，且PA=d，试求d的最小值解：设Px0，y0
4、x00，那么y02=2x0，d=PA=a0，x00，1当0a1时，1a0，此时有x0=0时，dmin=a2当a1时，1a0，此时有x0=a1时，dmin=【例2】过抛物线y2=2pxp0焦点F的弦AB，点A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1，求A1FB1解法1：由抛物线定义及平行线性质知A1FB1=180AFA1+BFB1=180180A1AF180B1BF=A1AF+B1BF=90法2：设弦AB的方程是：得,设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得y1y2= -p2又,从而知A1FB1=90提炼方法： 1平面几何法与定义法结合,简捷高效;2 弦AB的方程是：(此题不存在AB垂直于
5、y轴的情况),避开了斜率存在性的讨论,解题中应注意灵活运用【例3】 如以以下图所示，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等假设AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程解：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段其中A、B分别为曲线段C的端点设曲线段C的方程为y2=2pxp0xAxxB，y0，其中xA、xB为A、B的横坐标，p=|MN|，所以M，0 、N，0由|AM|=，|AN|=3，得x
6、A+2+2pxA=17， xA2+2pxA=9 联立解得xA=，代入式，并由p0，或解得 p=4， p=2，xA=1 xA=2 因为AMN为锐角三角形，所以xA所以故舍去 P=2， P=4，xA=2 xA=1由点B在曲线段C上，得xB=|BN|=4综上，曲线段C的方程为y2=8x1x4，y0提炼方法： 1熟练运用定义确定曲线C是抛物线段;2合理选择坐标系,确定标准方程;3运用距离公式求出标准方程中的待定系数;4特别注意范围的限定【例4】(2023全国卷)设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线 当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；()当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的
7、取值范围解：两点到抛物线的准线的距离相等抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，上述条件等价于， 上述条件等价于 即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F另解：抛物线，即，焦点为 1直线的斜率不存在时，显然有 2直线的斜率存在时，设为k，截距为b即直线：y=kx+b 由得： 即的斜率存在时，不可能经过焦点 所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F II(理)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得；A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式即设AB的中点N的坐标为，那么由即得l在y轴上截距的取值范围为法二:y1=2x12, y2=2x22, 相减
8、得,中点在抛物线内必【研讨欣赏】(2023山东文)动圆过定点，且与直线相切，其中I求动圆圆心的轨迹的方程；II设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标解：I如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为II如图，设，由题意得。又直线的倾斜角满足，故。直线的斜率存在，否那么，的倾斜角。从而设直线的方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知由，得。将式代入上式整理化简，得：此时直线的方程可表示为：，即。直线恒过
9、定点五提炼总结以为师1求抛物线方程的方法：待定系数法,定义法,直接法;2涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时,要注意运用“设而不求的策略,防止求交点坐标的复杂运算3解决焦点弦问题时，应注意抛物线的定义和焦点弦的几何性质应用，注意抛物线上的点,焦点,准线三者之间的联系同步练习 83抛物线方程及性质 【选择题】1(2023全国)抛物线上一点A的纵坐标为4，那么点A与抛物线焦点的距离为 A2 B3 C4 D52 点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是 ( ) A B C D 3一个酒杯的轴截面为抛物线的一局部,它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,那么玻璃
10、球的半径的范围为 ()A B C D4 设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点(直线PQ与抛物线的轴不垂直),那么与的大小关系为 ( )A BC D 不确定【填空题】5抛物线 的动弦AB长为,那么AB中点M到轴的最短距离是 _ 6对于顶点在原点的抛物线，给出以下条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为2，1能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_要求填写适宜条件的序号简答提示：14：DCCC；2 把转化为M到准线的距离,然后求的最小值3 设圆心A(0,t),抛物线上
11、的点为P(x,y), 列出转化为二次函数问题。4向量解法： 由A、F、B共线得(重要结论),进而得出5可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短，答案6由抛物线方程y2=10x可知满足条件答案：【解答题】7(2023春北京文)如图，O为坐标原点，过点P2，0且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于Mx1,y1,N(x2, y2)两点1求x1x2与y1y2的值；2求证：OMON解：直线l的方程为 代入y2=2x消去y可得 点M，N的横坐标x1与 x2是的两个根，由韦达定理得证明：设OM，ON的斜率分别为k1, k2,8本小题总分值14分(2023年高考广东卷17)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2
12、上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO如图4所示 求AOB的重心G即三角形三条中线的交点的轨迹方程； AOB的面积是否存在最小值？假设存在，请求出最小值；假设不存在，请说明理由解：I设AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 那么 1OAOB，即，(2)又点A，B在抛物线上，有，代入2化简得，所以重心为G的轨迹方程为II由I得当且仅当即时，所以AOB的面积存在最小值，且最小值为19本小题总分值14分(2023年春考北京卷理18)如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点1写出直线的截距式方程；2证明：；3当时，求的大小解：直线l的截距式方程为 证明：由及y2=2px消去x可得 点M，N的纵坐标y1, y2为的两个根，故解：设OM，ON的斜率分别为k1,k2,102023春全国抛物线y24pxp0，O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OAOB，如果OMAB于M点，求点M的轨迹方程分析：点M随着A、B两点的变化而变化，点M是OM与AB的交点，而A、B为抛物线上的动点，点M与A、B的直接关系不明显，因此需引入参数解法一：设Mx0，y0，那么kOM=，kAB=，直线AB方程是y=xx0+y0由y2=4px可得x=，代入上式整理得x0y24py0y4py024px02=0 此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，A