1、第三章 数列知识结构网络31数学归纳法数学归纳法是很另类的方法,专门解决与正整数有关的命题,不要忘记噢!一、明确复习目标1.理解数学归纳法的原理; 掌握数学归纳法的证明步骤;2.能用数学归纳法证明恒等式、不等式、整除性；探求平面几何及数列问题； 二建构知识网络1.归纳法: 由特殊事例推出一般结论的推理方法.有不完全归纳法,完全归纳法.2.数学归纳法:对于与正整数有关的命题证明：当n=n0每第一个值时成立；假设n=kkn0时命题成立，证明当n=k+1时命题成立；这就证明了命题对n0以后的所有正整数都成立。(1)事实上:第一步证明了“归纳根底；第二步证明了“递推规律“假设n=k命题成立，那么n=k
2、+1命题成立，从而可以无限的递推下去，保证了对n0以后的所有正整数都成立。(2)两点注意: 两步缺一不可如命题2证“n=k+1成立必用“n=k成立归纳假设如对于等式2+4+2n=n2+n+1可以证明“假设n=k时成立，那么n=k+1时也成立，没有归纳根底。事实上这个等式是不成立的。3数学归纳法的应用:证明等式、不等式、整除性；探求平面几何及数列问题；三、双基题目练练手1用数学归纳法证明时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是 AB C D2某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现当时该命题不成立，那么可推得 A当n=6时该命题不成立B当n=6
3、时该命题成立C当n=4时该命题不成立D当n=4时该命题成立3.用数学归纳法证明对n为正偶数时某命题成立，假设已假设为偶数时命题为真，那么还需要用归纳假设再证 A时等式成立B时等式成立C时等式成立D时等式成立4.2023太原模拟假设把正整数按以下列图所示的规律排序，那么从2023到2023年的箭头方向依次为 ( )5平面内有n(n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，猜测这n条直线交点的个数为 .6.如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展而来n=1，2，3，那么第n2个图形中共有_个顶点.简答:1-4.BCBD; 5. ; 6. 观察规律第n2个图形有n+222+n+22=n2+n
4、个顶点四、经典例题做一做【例1】用数学归纳法证明等式：.证明 . 当时，左边，右边，左边=右边，时等式成立；. 假设时等式成立，即，当时，左边 =右边，即时等式成立，根据，等式对都正确.【例2】是否存在正整数m，使得fn=2n+73n+9对任意正整数n都能被m整除假设存在，求出最大的m值，并证明你的结论;假设不存在，请说明理由.解：由fn=2n+73n+9，得f1=36， f2=336， f3=1036， f4=3436，由此猜测m=36.下面用数学归纳法证明：1当n=1时，显然成立.2假设n=k时， fk能被36整除，即fk=2k+73k+9能被36整除;当n=k+1时，2k+1+73k+1
5、+9=32k+73k+9+183k11，由于3k11是2的倍数，故183k11能被36整除.这就是说，当n=k+1时，fn也能被36整除.由12可知对一切正整数n都有fn=2n+73n+9能被36整除，m的最大值为36.方法提炼：此题是探索性命题，它通过观察、归纳、特殊化猜测出结论，再用数学归纳法证明。【例3】y=fx满足fn1=fnlgan1n2，nN且f1=lga，是否存在实数、使fn=n2+n1lga对任何nN x都成立，证明你的结论.解：fn=fn1+lgan1，令n=2，那么f2=f1+fa=lga+lga=0.又f1=lga， fn=n2n1lga.证明：1当n=1时，显然成立.2
6、假设n=k时成立，即fk=k2k1lga，那么n=k+1时，fk+1=fk+lgak=fk+klga=k2k1+klga=k+12k+11lga.当n=k+1时，等式成立.综合12可知，存在实数、且=，=，使fn=n2+n1lga对任意nNx都成立.解题回忆：此题与例2同是探索性命题，取n=2求出、,再证明一般性。【例4】2023江西数列满足:. (1) 求数列an的通项公式; (2) 证明:对一切正整数n,不等式a1.a2.an2.n! 恒成立. 解： (1)将条件变为:,因此, 为一个等比数列. 其首项为,公比为,从而 据此得.2证:据得为证只要证时有.显然，左端每个因式皆为正数，先证明，
7、对每个nNx用数学归纳法证明式：10当n=1时，显然式成立，20设时，式成立即记此式为f(k)g(k) 那么当n=k+1时，只需证即 代知只需证：f(k)1.此式显然成立。n=k+1时,不等式成立。由归纳原理知，不等式对任意正整数n都成立。拓展发散：题1对递推公式变形后,整体代换把看成一个数列,处理得好.假设用“猜测+证明的方法求通项公式，就有点难。【研讨.欣赏】如以下列图，设P1，P2，P3，Pn，是曲线y=上的点列，Q1，Q2，Q3， ，Qn，是x轴正半轴上的点列，且OQ1P1，Q1Q2P2，Qn1QnPn，都是正三角形，设它们的边长为a1，a2，an，求证：a1+a2+an=nn+1.证
8、明：1当n=1时，点P1是直线y=x与曲线y=的交点，可求出P1，.a1=|OP1|=.而12=，命题成立.2假设n=kkNx时命题成立，即a1+a2+ak=kk+1，那么点Qk的坐标为kk+1，0，直线QkPk+1的方程为y=xkk+1.代入y=，解得Pk+1点的坐标为ak+1=|QkPk+1|=k+1=k+1.a1+a2+ak+a k+1=kk+1+k+1=k+1k+2.当n=k+1时，命题成立.由12可知，命题对所有正整数都成立.解法点评：此题的关键是求出Pk+1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|QkP k+1|.五提炼总结以为师1.数学归纳法的步骤、原理、本卷须知：2.题型.方
9、法.思想：证明恒等式、不等式、整除性；探求平面几何及数列问题；证明的关键是找出n与n+1的递推关系,用好归纳假设,凑出结论同步练习 31数学归纳法 【选择题】1.设，那么 ABC D2.凸n边形有fn条对角线，那么凸n+1边形有对角线条数fn+1为 ( )A.fn+n+1 B.fn+n C.fn+n1 D.fn+n23.用数学归纳法证明“1+nnNx，n1时，由n=kk1不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 ( )A.2k1 B.2k1 C.2k D.2k+1【填空题】4.用数学归纳法证明“n+1n+2n+n=2n132n1，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为 5由归纳原理分别探
10、求：(1)凸n边形的对角线条数f(n)= ;(2)平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，那么该n个圆分平面区域数f(n)= . 6观察下表，设第n行的各数之和为Sn，那么=_.12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10简答.提示：1-3.DCC; 4. .22k+1;5.(1) (2) n2-n-1; 6. Sn=(2n-1)2 答4；【解答题】7用数学归纳法证明能被6 整除.证明. 当时，13+51=6能被6整除，命题正确；. 假设时命题正确，即能被6整除，当时，两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除，能被6整除，即当时命题也正确，由知命题时都正
11、确.82023重庆设数列an满足a1=2，an+1=an+ n=1，2，.1证明an对一切正整数n都成立；2令bn= n=1，2，判定bn与bn+1的大小，并说明理由.1证法一：当n=1时，a1=2，不等式成立.假设n=k时，ak成立，当n=k+1时，ak+12=ak2+22k+3+2k+1+1，当n=k+1时，ak+1成立.综上，由数学归纳法可知，an对一切正整数成立.证法二：当n=1时，a1=2=结论成立.假设n=k时结论成立，即ak，当n=k+1时，由函数fx=x+x1的单调递增性和归纳假设有ak+1=ak+ =.当n=k+1时，结论成立.因此，an对一切正整数n均成立.2解：=1+1+
12、 = = =1.故bn+1bn.9数列an中，a1=，Sn=n2an (nN)()求a2，a3，a4的值；()推测数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明；解:()a1=， S2=4a2，即+a2=4a2， a2=； S3=9a3，即+a3=9a3， a3=； S4=16a4，即+a4=16a4， a4=，()猜测an=.证明如下：当n=1时，a1=，结论成立.假设n=k时成立，即ak=.即 Sk=a1+a2+a3+ak=1-=.由 Sk+1=(k+1)2ak+1，即Sk+ak+1=(k+1)2ak+1，得 ak+1=，说明当n=k+1时，结论也成立.综合上述，可知对一切nN，都有an=.法二:,相减得,连乘法可得:10是否存在常数a，b使等式1n+2(n-1)+3(n-2)+(n-2)3+(n-1)2+n1=n(n+a)(n+b)对一切自然数N都成立，并证明你的结论.解:令n=1，得 1=(1+a)(1+b)，令n=2，得 4=(2+a)(2+b)，整理得解得a=1，b=2.下面用数学归纳法证明等式：1n+2(n-1)+3(n-