1、根本不等式教学需注意的问题及教学建议唐瑞 赵思林摘 要：根本不等式是培养学生发现数学知识、逻辑推理能力和数学应用意识的好素材.在根本不等式教学的新课引入中，教师应根据学生实际和学生的最近开展区，可优先考虑生活情境、弦图法、“问题串法;对于根本不等式证明方法的选择，除教材中提到的比拟法、分析法和综合法外，还有几何法，而且可以利用“一题多证培养学生的发散思维.关键词：根本不等式;教学问题;教学建议一、根本不等式的数学文化价值1.从赵爽的“弦图可发现根本不等式.中国数学家赵爽在周髀算经中写道：“以图考之，倍弦实，满外大方，而多黄实.黄实之多，即勾股差实，以差实减之，开其余，得外大方.大方之面，即勾股
2、并之.1即：假设直角三角形两直角边为a，b，a0，b0，斜边为c，那么2.从欧几里得的矩形之变可发现根本不等式.欧几里得最早给出了两条线段的比例中项的作图法，现行教材采用这种方法来发现和证明根本不等式.3.从芝诺多鲁斯的等周问题的结论可发现根本不等式.芝诺多鲁斯研究等周问题提出了命题，“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大.假设矩形长为b，宽为a，那么与该矩形等周长的正方形的边长为a+b2，由此利用“正方形的面积不小于该矩形面积可推出：二、根本不等式的教材分析一教材的地位与作用“根本不等式是初中学过不等式的几条简单性质及一元一次不等式的解法、高中学过一元二次不等式的
3、解法之后，人教A版教材从几何背景赵爽弦图中探究发现的结论.根本不等式的教学价值表达在以下几方面：一是发现和证明其他一些不等式的重要工具，如利用根本不等式可发现和证明n元算术几何平均值不等式2;二是求解最值问题的有力工具;三是解决其他数学问题的重要工具;四是高考数学的重点和热点;五是学习高等数学的根底.二教学目标将本节课的教学目标确定为：能在具体的几何问题情境中，通过思维观察、抽象、概括等及演绎推理得到根本不等式;在多角度探索根本不等式的过程中，体会数形结合的数学思想方法;会运用根本不等式解决简单最值问题，体会数学的应用价值.祝存建3强调“感受数学形式化结论的一般形成过程实验、观察、猜测、归纳、
4、抽象、概括，形成结论，体会数学的理性思维价值，开展学生的数学思维能力.这就把探究数学、发现再创造数学纳入教学目标，其教学境界会大大提升.三教学重点与难点大局部教师都将“应用数形结合的思想理解根本不等式，并从不同角度探索根本不等式的证明过程视为教学重点;将“从不同角度探索根本不等式的证明，能利用根本不等式的模型求解函数最值作为教学难点.陶文晶4建议，应该将根本不等式成立时的三个限制条件简称“一正、二定、三相等作为本节课的难点.三、根本不等式教学需要注意的几个问题根本不等式教学存在教师自身的数学知识系统不够完善，不够重视数学知识本质的教学等问题.这说明，对教师而言根本不等式貌似简单实那么难.因此，
5、教师自身提升数学素养是非常必要的.一新课的引入：渗透数学文化或联系生活实际根本不等式的引入方式大致分为五种：一是从根本不等式的历史背景引入，如人教A版利用赵爽的“弦图引入;二是从其他学科知识引入，如在苏教版教材中，通过天平称重，引导学生利用物理知识得出数学公式;三是从生活实际问题引入5，如利用“装箱问题引入;四是从代数问题引入，如通过赋值比拟ab与a+b2的大小，由特殊到一般归纳出根本不等式;五是采用公理化思想的方法，即是直接把“a20aR作为不等式的一个公理，由此推导出根本不等式，这样处理，突出了数学知识的内在联系，可以回避花花草草的烦琐情境，降低学生的认知负荷.曾萍等6对“弦图引入法提出质
6、疑：1用“弦图表示重要不等式的等号成立的条件不易直接从“弦图看出;2分别以a、b替换a、b的思路不自然;3证明方法单一，不利于培养发散思维.对此，她利用AMA软件，通过对原图形的伸缩变化，减少视覺对图形位置改变的处理，减少注意力的分散;用“问题串引导学生对重要不等式进行变形，得到根本不等式;分别从几何视角和函数视角解释根本不等式，以增强对不等式的理解.但需注意，假设用赵爽的“弦图引入，那么会产生数学“育人之效应，一是可激发学生的爱国主义情感，二是可渗透数学文化的教育.张忠旺7认为第一种引入方式中的“弦图的本质就是完全平方公式的变形，也即根本不等式的几何意义;第二、三种引入方式过于复杂，耗时较长
7、，冲淡了教学目标;第四种引入方式有虚假之感;第五种引入方式的困难在于学生对“公理的理解并不容易.每种引入方式都有利有弊，应根据学生实际情况选择适宜的引入方式.综合来看，利用“天平称重引入根本不等式是较佳的方式，不仅联系生活实际，而且涉及物理知识，最重要的是防止了人教A版中“替换的不自然过程，通过分析真实重量，直接得到ab和a+b2，再通过猜测、验证得出根本不等式.这个引入方式自然、简洁，有利于学生体会数学建模思想，有利于学生经历发现再创造数学的过程，但会增加学生的认知负荷.二证明方法的选择人教A版教材仅给出三种证明方法：分析法、综合法及几何模型法.用人教A版中第一种证明方法即分析法有困难，难点
8、在于学生不容易理解为什么可以这样证明以及证明的书写格式，其原因是学生还没有接触过分析法的逻辑依据，教师需对分析法证明的合理性做适当说明.用分析法证明不等式，在2003年前的教材中虽然安排了2学时，但仍有很多学生学得很艰难甚至痛苦;现行的人教A版教材只安排几分钟，可能教材编写专家低估了分析法的教学难度，需要评估这种安排的实际效果.黄娅8对教师采用的证明方法调查发现，采用作差法、几何模型法、分析法、函数单调性、弦图法分别占59.3%，51.9%，48.1%，14.8%，11.1%.需要说明的是，不少教师同时选用了23种引入方法.根本不等式的证明的教学，应重视它和其他知识平面几何、三角、数列、向量等的内在联系，表达它“根本的一面证明的多样性与变形的多样性，从而帮助学生对根本不等式的本质的理解.