1、第2课时圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题基础题组练1(2023年长沙市统一模拟考试)已知F1，F2分别是双曲线C：y2x21的上、下焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则PF1F2的面积为()A. B1 C. D2解析：选C.设P(x0，y0)，不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线xy0上，因此可得x0y00.F1(0，)，F2(0，)，所以|F1F2|2，以F1F2为直径的圆的方程为x2y22，又以F1F2为直径的圆经过点P，所以xy2.由，得|x0|1，于是SPF1F2|F1F2|x0|21，故选C.2直线l与抛物线C：y22x交于A，B两点，O为坐标原
2、点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2，则直线l过定点()A(3，0) B(0，3) C(3，0) D(0，3)解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2，所以.又y2x1，y2x2，所以y1y26.将直线l：xmyb代入抛物线C：y22x得y22my2b0，所以y1y22b6，得b3，即直线l的方程为xmy3，所以直线l过定点(3，0)3(2023年安徽合肥模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1k2的值为 解析：由e21，得.设M(x，y)，A(
3、m，n)，则B(m，n)，k1k2，把y2b2，n2b2代入式并化简，可得k1k2.答案：4以下四个关于圆锥曲线的命题：设A，B为两个定点，K为正数，若|PA|PB|K，则动点P的轨迹是双曲线；方程2x25x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线1与椭圆y21有相同的焦点；已知抛物线y22px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切其中真命题为 (写出所有真命题的序号)解析：A，B为两个定点，K为正数，|PA|PB|K，当K|AB|时，动点P的轨迹是两条射线，故错误；方程2x25x20的两根为和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正确；双曲线1的焦点坐标为(，0)，椭圆y
4、21的焦点坐标为(，0)，故正确；设AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A，B，P在准线l上的射影分别为M，N，Q，因为APBPAMBN，所以PQAB，所以以AB为直径作圆，则此圆与准线l相切，故正确故正确的命题有.答案：5(2023年福建五校第二次联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，上顶点M到直线xy40的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过点(4，2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值解：(1)由题意可得，解得所以椭圆C的方程为1.(2)证明：易知直线l的斜率恒小于0，设直线l的方程为y2k(x4)，k0，得m或
5、mb0)的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c1，因为A在椭圆C上，所以2a|AF1|AF2|2，所以a，b2a2c21，所以椭圆C的方程为y21.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为y2xt，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y22tyt280，所以y1y2，4t236(t28)0，所以y0，且3t3.由得(x4x2，y4y2)，所以y1y4y2，y4y1y2t，又3t3，所以y41，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是1，1矛盾所以不存在满足条件的直线6