1、能力升级练(二十四)数形结合思想一、选择题1.方程|x2-2x|=a2+1(a0)的解的个数是()A.1B.2C.3D.4解析a0,a2+11.而y=|x2-2x|的图象如图,y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.答案B2.不等式|x+3|-|x-1|a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-,-14,+)B.(-,-25,+)C.1,2D.(-,12,+)解析(1)f(x)=|x+3|-|x-1|=-4(x1).画出函数f(x)的图象,如图,可以看出函数f(x)的最大值为4,故只要a2-3a4即可,解得a-1或a4.故选A.答案A3.已知函数f(x)=
2、e|x-1|,x0,-x2-2x+1,x0,若方程f(x)=a有4个不相等的实数根,则a的取值范围是()A.1,2)B.(1,2)C.2,e)D.(2,e)解析如图,作出函数f(x)=e|x-1|,x0,-x2-2x+1,x0的大致图象,其中f(-1)=2,f(0)=f(1)=1.作出直线y=a,显然当a(1,2)时,直线y=a与函数f(x)的图象有4个不同的交点,即方程f(x)=a有4个不相等的实数根.故选B.答案B4.已知函数f(x)=-x2+2x,x0,ln(x+1),x0,若|f(x)|ax,则a的取值范围是()A.(-,0B.(-,1C.-2,1D.-2,0解析函数y=|f(x)|的
3、图象如图.当a=0时,|f(x)|ax显然成立.当a0时,只需在x0时,ln(x+1)ax成立.比较对数函数与一次函数y=ax的增长速度.显然不存在a0使ln(x+1)ax在x0上恒成立.当a0,kPA0,故k0时,为锐角.又kPA=-2-(-1)1-0=-1,kPB=-1-10-2=1,-1k1.又当0k1时,04;当-1k0时,34.故倾斜角的取值范围为0,434,.答案-1,10,434,7.若在区间(-1,1)内任取实数a,在区间(0,1)内任取实数b,则直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交的概率为.解析直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交应满足
4、|a-2b|a2+b23b.在平面直角坐标系aOb中,-1a1,0b3b的区域为图中OCDE的内部,由E34,1,可求得梯形OCDE的面积为58,而矩形ABCD的面积为2,由几何概型可知,所求的概率为516.答案5168.已知函数f(x)=x+1,0xb0,且f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围是.解析如图,f(x)在0,1),1,+)上均单调递增,由ab0及f(a)=f(b)知a1b12.bf(a)=bf(b)=b(b+1)=b2+b,12b1,34bf(a)2.答案34,29.过点(2,0)引直线l与曲线y=1-x2相交于A、B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线l的斜
5、率为.解析SAOB=12|OA|OB|sinAOB=12sinAOB12.当AOB=2时,SAOB面积最大.此时O到AB的距离d=22.设AB方程为y=k(x-2)(k0,且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=3ax2-3a,f(1)=0,g(x)=2bx-1x,g(1)=2b-1,依题意,得2b-1=0,所以b=12.(2)x(0,1)时,g(x)=x-1x0,即g(x)在(1,+)上单调递增,所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=12;当a=0时,方程F(x)=a2不可能有四个解;当a0,x(-,-1)时,f(x)0,即f(x)在(-1,0)上单调递增,图所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,又f(0)=0,所以F(x)的图象如图所示,从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.当a0,x(-,-1)时,f(x)0,即f(x)在(-,-1)上单调递增,x(-1,0)时,f(x)0,即f(x)在(-1,0)上单调递减,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.图又f(0)=0,所以F(x)的图象如图所示,从图看出,若方程F(x)=a2有四个解,则12a22a,所以,实数a的取值范围是22,2.8