1、专题33 最值问题 专题知识回顾 在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：1.二次函数的最值公式二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有若当时，y有最小值。；若当时，y有最大值。2.一次函数的增减性 一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它
2、们的解往往离不开函数。5. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为k。6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。7. 利用不等式与判别式求解在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。专题典型题考法及解析 【例题1】（经典题）二次函数y=2（x3）24的最小值为 【答案】4【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到
3、顶点坐标，从而得出解答二次函数y=2（x3）24的开口向上，顶点坐标为（3，4），所以最小值为4【例题2】（2023年江西）如图，AB是O的弦，AB=5，点C是O上的一个动点，且ACB=45，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 【答案】【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值如图，点M，N分别是AB，AC的中点，MN=BC，当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交O于点C，连接AC，BC是O的直径，BAC=90ACB=45，AB=5，ACB=45，BC=5，MN最大=【例题3】
4、（2023年湖南张家界）已知抛物线yax2bxc（a0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC3（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AMBC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ12QC是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由【思路分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正
5、方形；（3）如答图2，过点P作PFAB于点F，交BC于点E，令P(m，m24m3)，易知直线BC的解析式为yx3，则E(m，m3)，PE(m3)(m24m3)m23m再由SPBCSPBESCPE，转化为12PEOB123(m23m)，最后将二次函数化为顶点式即可锁定SPBC的最大值与点P坐标；（4）解决本问按两步走：一找（如答图3，设OQt，则CQ3t，AQ12QC，取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作Q，则当Q过点A时，AQ12QCQ的直径最小）、二求（由 AQ12QC，解关于t的方程即可）【解题过程】（1）抛物线yax2bxc（a0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，令抛物线解
6、析为ya(x1)(x3)该抛物线过点C(0，3)，3a(01)(03)，解得a1抛物线的解析式为y(x1)(x3)，即yx24x3yx24x3(x2)21，抛物线的顶点D的坐标为(2，1)综上，所求抛物线的解析式为yx24x3，顶点坐标为(2，1)（2）如答图1，连接AD、BD，易知DADBOBOC，BOC90，MBA45D(2，1)，A(3，0)，DBA45DBM90同理，DAM90又AMBC，四边形ADBM为矩形又DADB，四边形ADBM为正方形图1（3）如答图2，过点P作PFAB于点F，交BC于点E，令P(m，m24m3)，易知直线BC的解析式为yx3，则E(m，m3)，PE(m3)(m
7、24m3)m23m图2图3 SPBCSPBESCPE12PEBF12PEOF12PEOB123(m23m)32 (m32)2278，当m32时，SPBC有最大值为278，此时P点的坐标为(32，34)（4） 如答图3，设OQt，则CQ3t，AQ12QC，取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作Q，则当Q过点A时，AQ12QCQ的直径最小，此时，t2+1=12(3-t)，解得t2631，于是AQ12QC的最小值为3t3(2631)4263 专题典型训练题 1.（2023年河南）要使代数式2-3x有意义，则x的（ ）A.最大值为23 B.最小值为23 C.最大值为32 D.最大值为32【答案
8、】A.【解析】要使代数式2-3x有意义，必须使2-3x0，即x23，所以x的最大值为23。2.（2023年四川绵阳）不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为_。【答案】5 【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h因为，所以又因为，代入得，所以又因为，代入 得，所以 所以3h6，故整数h的最大值为5。3.（2023年齐齐哈尔）设a、b为实数，那么的最小值为_。【答案】-1 【解析】当，即时，上式等号成立。故所求的最小值为1。4.（2023年云南）如图，MN是O的直径，MN=4，AMN=40，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+P
9、B的最小值为 【答案】2【解析】过A作关于直线MN的对称点A，连接AB，由轴对称的性质可知AB即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出AON的度数，再由勾股定理即可求解过A作关于直线MN的对称点A，连接AB，由轴对称的性质可知AB即为PA+PB的最小值，连接OB，OA，AA，AA关于直线MN对称，=，AMN=40，AON=80，BON=40，AOB=120，过O作OQAB于Q，在RtAOQ中，OA=2，AB=2AQ=2，即PA+PB的最小值25.（2023年海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同
10、（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1x15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间(天)1x99x15x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)803x120x储存和损耗费用(元)403x3x264x400（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【答案】看解析。【解析】（1）设该种水果每次降
11、价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1x)，第二次降价后的价格为10(1x)2，进而可得方程；（2）分两种情况考虑，先利用“利润(售价进价)销量储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；（3）设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“（2）中最大利润(8.1a4.1)销量储存和损耗费用127.5”求解解答：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，依题意得：10(1x)28.1解方程得：x10.110%，x21.9(不合题意，舍去)答：该种水果每次降价的百分率为10%（2） 第一次降价后的销售价格为：10(110%)9(元/斤)，当1x9时，y(94.1)(80
12、3x)(403x)17.7x352；当9x15时，y(8.14.1)(120x)(3x264x400)3x260x80，综上，y与x的函数关系式为：y当1x9时，y17.7x352，当x1时，y最大334.3(元)；当9x15时，y3x260x803(x10)2380，当x10时，y最大380(元)；334.3380，在第10天时销售利润最大（3）设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意得：380(8.1a4.1)(12015)(31526415400)127.5，解得：a0.5，则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元6.（2023年湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最
13、高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为，。（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】看解析。【解析】（1）根据题意得： 整理得 解得，（不合题意，舍去）（2）由题意知，利润为 所以当时，最大利润为1950元。7.（2023年吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？【答案】看解析。【解析】设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为人，由题意得： 所以设所招聘的工人共需付月工资y元，则有： （）因为y随x的增大而减小 所以当时，（元）8.（经典题）求的最大值与最小值。【答案】最大值是3，最小值是。【解析】此题要求出最大值与最小值，直接求则较困难，若根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。设，整理得即因为x是实数，所以即解得所以的最大值是3，最小值是。9.（经典题）求代数式的最大值和最小值。【答案】最大值为