1、专题16 一次函数综合题考点分析【例1】（2023年浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OFDE于点F，连结OE动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点（1）求点B的坐标和OE的长；（2）设点Q2为(m，n)，当tanEOF时，求点Q2的坐标；（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Qs，APt，求s关于t的函数表达式当PQ与OEF的一边平行时，求所有满足条
2、件的AP的长【答案】（1）（8，0），；（2）（6，1）；（3），的长为或.【解析】解：（1）令，则，为.为，在中，.又为中点，.（2）如图，作于点，则，.，由勾股定理得，.，为.（3）动点同时作匀速直线运动，关于成一次函数关系，设，将和代入得，解得，.（）当时，（如图），作轴于点，则.，又，.（）当时（如图），过点作于点，过点作于点，由得.,，.，.（）由图形可知不可能与平行.综上所述，当与的一边平行时，的长为或.【点睛】此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解
3、决问题【例2】（2023年射阳县）如图，已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数yx的图象交于点M，点M的横坐标为2在x轴上有一点P (a，0)（其中a2），过点P作x轴的垂线，分别交函数和yx的图象于点C，D（1）求点A的坐标；（2）若OBCD，求a的值【答案】（1）(6，0)；（2）4.【解析】解：（1）点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，点M的坐标为（2，2），把M（2，2）代入y=x+b得1+b=2，解得b=3，一次函数的解析式为y=x+3，把y=0代入y=x+3得x+3=0，解得x=6，A点坐标为（6，0）；（2）把x=0代入y=x+3得y=3，B点坐标为（0，3
4、），CD=OB，CD=3，PCx轴，C点坐标为（a，a+3），D点坐标为（a，a）a（a+3）=3，a=4考点集训1（2023年重庆中考真题）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示x3210123y6420246（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化写出点A，B的坐标和函数的对称轴（2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象
5、，分别写出平移的方向和距离（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象若点和在该函数图象上，且，比较，的大小【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】解：（1），函数的对称轴为；（2）将函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象；将函数的图象向左平移2个单位得到函数的图象；（3）将函数的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数的图象所画图象如图所示，当时，【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解题的关键2（2023年江苏省无锡市天一实验学校初三月考）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（，），点Q的坐
6、标为（，），且，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图（1）已知点A的坐标为（1，0）若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）O的半径为，点M的坐标为（m，3）若在O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围【答案】（1）2；或；（2）1m5 或者【解析】（1）S=21=2；C的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC的表达式为y=kx+b，将A、C分别代入AC的表达式得到：或，
7、解得：或，则直线AC的表达式为或；（2）若O上存在点N，使MN的相关矩形为正方形，则直线MN的斜率k=1，即过M点作k=1的直线，与O有交点，即存在N，当k=1时，极限位置是直线与O相切，如图与，直线与O切于点N，ON=，ONM=90，与y交于（0，-2）（，3），=-5，（-5，3）；同理可得（-1，3）；当k=1时，极限位置是直线与（与O相切），可得（1，3），（5，3）因此m的取值范围为1m5或者考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力3（2023年山东省济南汇才学校初三期中）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分
8、别是一元二次方程x22x3=0的两个根（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）4；（2）ACAB，理由见解析；（3）D（2，1）；（4）点P的坐标为（3，0），（，2），（3，3），（3，3+）【解析】（1）x22x3=0，x=3或x=1，B（0，3），C（0，1），BC=4；（2）A（，0），B（0，3），C（0，1），OA=，OB=3，OC=1，
9、OA2=OBOC，AOC=BOA=90，AOCBOA，CAO=ABO，CAO+BAO=ABO+BAO=90，BAC=90，ACAB；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（，0）和C（0，1）代入y=kx+b，解得：，直线AC的解析式为：y=x1，DB=DC，点D在线段BC的垂直平分线上，D的纵坐标为1，把y=1代入y=x1，x=2，D的坐标为（2，1），（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，把B（0，3）和D（2，1）代入y=mx+n，解得，直线BD的解析式为：y=x+3，令y=0代入y=x+3，x=3，E（3，0），OE=3，tanBEC=，BEO=30，
10、同理可求得：ABO=30，ABE=30，当PA=AB时，如图1，此时，BEA=ABE=30，EA=AB，P与E重合，P的坐标为（3，0），当PA=PB时，如图2，此时，PAB=PBA=30，ABE=ABO=30，PAB=ABO，PABC，PAO=90，点P的横坐标为，令x=代入y=x+3，y=2，P（，2），当PB=AB时，如图3，由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1Fx轴于点F，P1B=AB=2，EP1=62，sinBEO=，FP1=3，令y=3代入y=x+3，x=3，P1（3，3），若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2
11、Gx轴于点G，P2B=AB=2，EP2=6+2，sinBEO=，GP2=3+，令y=3+代入y=x+3，x=3，P2（3，3+），综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（3，0），（，2），（3，3），（3，3+）考点：一次函数和三角形的综合题.4（2023年内蒙古初三）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD中，ADBC，点E为DC边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F求证：S四边形ABCDSABF（S表示面积）问题迁移：如图2，在已知锐角AOB内有一定点P过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M
12、、N小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，MON的面积存在最小值请问当直线MN在什么位置时，MON的面积最小，并说明理由实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部分计划以公路OA、OB和经过防疫站的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区MON若测得AOB66，POB30，OP4km，试求MON的面积（结果精确到0.1km2）（参考数据：sin660.91，tan662.25，1.73）拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OA
13、BC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值【答案】问题情境：见解析问题迁移：见解析实际运用：。拓展延伸：截得四边形面积的最大值为10【解析】问题情境：证明：ADBC，DAE=F，D=FCE。点E为DC边的中点，DE=CE。在ADE和FCE中，ADEFCE（AAS）。SADE=SFCE。S四边形ABCE+SADE=S四边形ABCE+SFCE，即S四边形ABCD=SABF。问题迁移：当直线旋转到点P是MN的中点时SMON最小，理由如下：如图2，过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PFPE，过点M作MGOB交EF于G，由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=SMON。S四边形MOFGSEOF，SMONSEOF。当点P是MN的中点时SMON最小。实际运用：如图3，作PP1OB，MM1OB，垂足分别为P1，M1，在RtOPP1中，POB=30，PP1=OP=2，OP1=2。由问题迁移的结论知，当PM=PN时，MON的面积最小，MM1=2PP1=4，M1P1=P1N。在RtOMM1中，即，。拓展延伸：如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别