1、常用逻辑用语考点要求1常用逻辑用语1命题及其关系 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题； 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；2简单的逻辑联结词通过数学实例，了解“或、“且、“非逻辑联结词的含义3全称量词与存在量词 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； 能正确地对含有一个量词的命题进行否认第一节 命题与充要条件自主学习1常用逻辑用语1命题命题：可以判断真假的语句叫命题；2四种命题的形式原命题：假设那么， 逆命题：假设那么， 否命题： 假设 那么， 逆否命题：假设 那么，3四种命题之间的关系：互 逆原命题:假设那么逆命题:假设那么否命题:假设那么
2、逆否命题:假设那么互 为 为互 否逆逆 否互否互否互 逆注：原命题为真，但其逆命题不一定真；其否命题不一定为真；其逆否命题为真 互为逆否命题的两个命题同真同假否命题即否认条件又否认结论；命题的否认仅否认结论.二、充分必要条件：一般地，如果，那么就说：是的充分条件；是的必要条件可分为四类：1. 充分不必要条件，即成立，而不成立；2. 必要不充分条件，即不成立，而成立；3. 既充分又必要条件，即成立，又有成立；4. 既不充分也不必要条件，即不成立，又有不成立一般地，如果既有，又有，就记作：.“叫做等价符号这时既是的充分条件，又是的必要条件，称是的充分必要条件，简称充要条件三、反证法的三步骤： 反设
3、：假设命题的结论不成立，即假设命题的反面成立归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾结论：由矛盾判定假设不成立，从而原命题的结论成立教材透析逻辑联结词：“或“且“非这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题常用小写的拉丁字母，表示命题，故复合命题有三种形式：或；且；非2复合命题的真值“非形式复合命题的真假可以用下表表示： 非真假假真“且q形式复合命题的真假可以用下表表示：且真真真真假假假真假假假假“或形式复合命题的真假可以用下表表示：或真真真真假真假真真假假假注：像上面表示命题真假的表叫真值表；由真值表得：“非形式复合命题的真假与的真假相反
4、；“且形式复合命题当与同为真时为真，其他情况为假；“或形式复合命题当与同为假时为假，其他情况为真；真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容3四种命题如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否认，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否认，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.
5、假设判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假5全称命题与特称命题这里，短语“所有在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题短语“有一个或“有些或“至少有一个在陈述中表示所述事物的个体或局部，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题典例剖析【题型1】 四种命题的关系与真假判断【例1】 判断命题“假设，那么有实根的逆否命题的真假解法一：写出逆否命题，再进行判断逆否命题是：假设无实根，那么。其真假判断如下： 无实根 0,即0，命题“假设无实根，那么为真解法二：利用命题间的关系，原命题与逆否命题等价
6、来判断，方程的判别式方程有实根，故原命题“假设，那么有实根为真又原命题与逆否命题等价，所以其逆否命题为真解法三：利用充要条件与集合的包含关系去分析设命题p：，q：方程有实根， p: ， q：= ，即“假设p那么q为真，其逆否命题“假设那么也为真逆否命题“假设无实根，那么为真或设命题：，：方程有实根那么：，：方程无实根: ，：= ，即，“假设那么为真故命题“假设，那么有实根的逆否命题为真【点评】因原命题与其逆否命题有相同的真假性，所以当原命题不易判定或证明时，利用“正难那么反的原那么，可判断或证明与之等价的逆否命题的真假，从而来间接判断和证明原命题的真假性【变式与拓展】1. 写出命题“假设的逆命
7、题、否命题、逆否命题，并判断真假.【解析】逆命题：否命题：逆否命题：易判定否命题假，逆否命题真，从而，逆命题假，原命题真2.2023广东理命题“假设函数在其定义域内是减函数，那么的逆否命题是 A、假设，那么函数在其定义域内不是减函数B、假设，那么函数在其定义域内不是减函数C、假设，那么函数在其定义域内是减函数D、假设，那么函数在其定义域内是减函数【解析】考查逆否命题，易得答案A【题型2】 充要条件的判定 【例2】2023陕西理“是“对任意的正数，的 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】，另一方面对任意正数， 只要，所以选A【点评】“充分条件与必要条件是四
8、种命题的关系的深化，它们间存在着密切的联系此题假设改成命题“如果，那么对任意的正数，都有，就是原命题正确，而逆命题不正确，那么原命题的条件是结论的充分不必要条件【变式与拓展】3.2023浙江理是实数，那么“且是“且的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】对于“且可以推出“且，反之也是成立的.4.2023天津设是两条直线，是两个平面，那么的一个充分条件是 C (A) (B) (C) (D) 【题型3】 充要条件的证明【例3】 设数列的前n项和，求证：数列成等比数列的充要条件是证明：由得，1必要性：假设数列成等比数列，所以；2充分性：当时
9、，也适合，即数列成等比数列.综上所述，数列成等比数列的充要条件是【点评】关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，此题采用了第二种方法。另外充要条件的证明，要分清充分性、必要性各要证什么？哪局部是条件，哪局部是结论；对于此题的题型结构来说，“充要条件是的后面是此题的条件，充分性证明应是有条件推结论。【变式与拓展】5. 求方程至少有一个负实根的充要条件.【解析】当时，原方程变形为一元一次方程，有一个负的实根， 当时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是即设两根，那么有一负实数 ,有两负实数综上所述，方程至少有一个负实根
10、的充要条件为.6. 在中，“是“的什么条件？【解析】在中，角A、B的对边分别是是的外接圆的半径一方面，因为，所以ab , 即 ，亦即 ，从而在中，另一方面，因为，所以 ，即 ，得，从而在中，故中，“是“ 的充要条件【题型4】 反证法的应用【例4】用反证法证明：如果【证明】假设，由于，那么由，有 均与条件“相矛盾 【点评】反证法实际上是通过证明命题“假设p那么q.的逆否命题“ 假设q 那么 p成立，从而到达证明命题“假设p那么q.成立，在证明过程中一定要注意对假设的充分利用。常用反证法证题的题型，如含有“至少有一个“至多有一个等字眼多用反证法。 【变式与拓展】7. ，证明：、中至少有一个不小于1
11、.证明：假设、且，由不等式同向相加的性质得： 与假设矛盾， 假设不成立.、中至少有一个不小于1.能力训练一、选择题1. 2023安徽文“是“且的 A A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件2.2023山东理给出命题：假设函数是幂函数，那么函数的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 C A3 B2 C1 D03.2023湖北理假设非空集合满足，且不是的子集，那么 B A. “是“的充分条件但不是必要条件B. “是“的必要条件但不是充分条件C. “是“的充要条件D. “既不是“的充分条件也不是“必要条件4.20
12、23届广东省四校第一次联考理设集合，那么“是“的D A.既不充分也不必要条件 B.充要条件C.充分而不必要条件 D.必要而不充分条件4. 以下四个命题中真命题是 “假设，那么、互为倒数的逆命题； “面积相等的三角形全等的否命题； “假设，那么方程有实根的逆否命题； “假设，那么的逆否命题.ABCD5. 命题、，如果是的充分而不必要条件，那么是的 ( A ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件6. 2023辽宁文以下4个命题：， ：，：， ：，其中的真命题是A. 、 B. 、 C. 、 D. 、二、填空题7.以下说法：假设一个命题的否命题是真命题，那么这个命题不一
13、定是真命题；假设一个命题的逆否命题是真命题，那么这个命题是真命题；假设一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题不一定是真命题；假设一个命题的逆命题和否命题都是真命题，那么这个命题一定是真命题；其中正确说法的序号是 .8. 方程至少有一个正的实根的充要条件是 9. 的充要条件；的必要不充分条件.10. 命题：函数的值域为，命题：函数 是减函数.假设或为真命题，且为假命题，那么实数a的取值范围是.【解析】命题为真时，即真数局部能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题为真时，. 假设或为真命题，且为假命题，故和中只有一个是真命题，一个是假命题.假设为真，为假时，无解；假设为假，为真时，结果为.三、解答题11. 设，；求证：不同时大于.【证明】假设都大