1、专题20 以相似三角形为背景的证明与计算考点分析【例1】（2023年辽宁中考真题）已知，在RtABC中，ACB90，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD为直角边作RtCDE和RtADF，使DCEADF90，点E，F在BC下方，连接EF（1）如图1，当BCAC，CECD，DFAD时，求证：CADCDF，BDEF；（2）如图2，当BC2AC，CE2CD，DF2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由【答案】（1）见解析；见解析；（2）BDEF，理由见解析.【解析】（1）证明：ACB90，CAD+ADC90，CDF+ADC90，CADCDF；作FHBC交BC的延长线于H，则四边形FE
2、CH为矩形，CHEF，在ACD和DHF中，即，；（2），理由如下：作交的延长线于，则四边形为矩形，即，GF2CD，BC2AC，CE2CD，BCDG，GFCE，BDCG，GFCE，GFCE，G90，四边形FECG为矩形，CGEF，BDEF【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和掌握各判定定理.【例2】 （2023年辽宁中考真题）如图，中，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且（1）如图1，当时，线段AG和CF的数量关系是 （2）如图2，当时，猜想线段AG和C
3、F的数量关系，并加以证明（3）若，请直接写出CF的长【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）2.5或5【解析】解：（1）相等，理由：如图1，连接AE，DE垂直平分AB，；故答案为：；（2），理由：如图2，连接AE，DE垂直平分AB，在中，；（3）当G在DA上时，如图3，连接AE，DE垂直平分AB，过A作于点H，；当点G在BD上，如图4，同（1）可得，综上所述，CF的长为2.5或5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键考点集训1（2023年山东中考真题）如图1，在RtABC中，B=90，BC=2AB
4、=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为.（1）问题发现 当时， ； 当时， （2）拓展探究试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.（3）问题解决当EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.【答案】（1）,.（2）无变化；理由参见解析.（3），.【解析】（1）当=0时，RtABC中，B=90，AC=，点D、E分别是边BC、AC的中点，,BD=82=4，如图1，当=180时，可得ABDE，（2）如图2，当0360时，的大小没有变化，ECD=ACB，ECA=DCB，又，ECADCB，（3）如图3，AC=4，C
5、D=4，CDAD，AD=AD=BC，AB=DC，B=90，四边形ABCD是矩形，BD=AC=如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，AC=，CD=4，CDAD，AD=，点D、E分别是边BC、AC的中点，DE=2，AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得，BD=综上所述，BD的长为或2（2023年江苏初三期末）如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，ADC=ACB=90，E为AB的中点，（1）求证：AC2=ABAD；（2）求证：CEAD；（3）若AD=4，AB=6，求的值【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】解：（1）证明：AC平分DABDA
6、C=CABADC=ACB=90ADCACB即AC2=ABAD（2）证明：E为AB的中点CE=AB=AEEAC=ECADAC=CABDAC=ECACEAD（3）CEADAFDCFECE=ABCE=6=3AD=43（2023年四川中考真题）如图，DB平分ADC，过点B作交AD于M连接CM交DB于N（1）求证：；（2）若，求MN的长【答案】（1）见解析；（2）.【解析】证明：（1）DB平分，且，（2），且，且，且【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键4（2023年江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，RtABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8
7、cm动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0t），连接MN（1）若BMN与ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若ANCM，求t的值【答案】（1）BMN与ABC相似时，t的值为或；（2）t=【解析】（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，BN=（82t）cm，BA=10（cm），当BMNBAC时，解得：t=；当BMNBCA时，解得：t=，BMN与ABC相似时，t的值为或；（2）过点M作MDCB于点D，由题意得：DM=BMsinB=（cm），BD=BMcosB=（cm），BM=3tc
8、m，CN=2tcm，CD=（）cm，ANCM，ACB=90，CAN+ACM=90，MCD+ACM=90，CAN=MCD，MDCB，MDC=ACB=90，CANDCM，解得t=考点：1相似三角形的判定与性质；2解直角三角形；3动点型；4分类讨论；5综合题；6压轴题5（2023年湖北中考真题）在中，是上一点，连接（1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：（2）过点作，为垂足，连接并延长交于点.如图2，若，求证：如图3，若是的中点，直接写出的值（用含的式子表示）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】 (1)延长交于点，与垂直，；(2)过点作交的延长线于点，与垂直，由(1)，得，即
9、； 过点C作CD/BP交AB的延长线于点D，延长AM交CD于点H，PCH=BPQ，BPM=CHM=90，又BMP=CMH，BM=CM，BPMCHM，BP=CH，PM=HM，PH=2PM，PMB=BMA，ABM=BPM=90，ABMBPM，在RtPCH中，tanPCH=，tanBPQ=，又BC=2BM，tanBPQ=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.6（2023年辽宁初三期中）如图，在ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且APD=B,（1）求证：ACCD
10、=CPBP；（2）若AB=10，BC=12，当PDAB时，求BP的长【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】解：（1）AB=AC，B=CAPD=B，APD=B=CAPC=BAP+B，APC=APD+DPC，BAP=DPC，ABPPCD，ABCD=CPBPAB=AC，ACCD=CPBP；（2）PDAB，APD=BAPAPD=C，BAP=CB=B，BAPBCA，AB=10，BC=12，BP=“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明ACCD=CPBP转化为证明ABCD=CPBP是解决第（1）小题的关键，证到BAP=C进而得到BA
11、PBCA是解决第（2）小题的关键7（2023年山西初三期末）如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点P为射线BD，CE的交点（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把ADE绕点A旋转，当EAC=90时，求PB的长；【答案】（1）证明见解析；（2）PB的长为或【解析】解：（1）ABC和ADE是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，DAB=CAE，ADBAEC，BD=CE（2）解：当点E在AB上时，BE=ABAE=1EAC=90，CE=同（1）可证ADBAEC，DBA=ECAPEB=AEC，PEBAEC，PB=当点E在BA延长线
12、上时，BE=3EAC=90，CE=同（1）可证ADBAEC，DBA=ECABEP=CEA，PEBAEC，PB=综上所述，PB的长为或【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得PEBAEC是解题的关键8（2023年山东初三）如图，在四边形ABCD中，ACBD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.（1）求证：BN平分ABE； （2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长； （3）如图，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：MFNBDC【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析. 【解析】（1）AB=AC，ABC=ACB，