1、考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系一、圆的有关概念1与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角（6）弦心距：圆心到弦的距离2注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆二、垂
2、径定理及其推论1垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形2推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧三、圆心角、弧、弦的关系1定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立2推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等四、圆周角定理及其推论1定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一
3、半2推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 （2）直径所对的圆周角是直角 圆内接四边形的对角互补在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等五、与圆有关的位置关系1点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d(1)dr点在O外判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可2直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系drd=rdr由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况六、切线的性质与判定1切线的性质（
4、1）切线与圆只有一个公共点（2）切线到圆心的距离等于圆的半径（3）切线垂直于经过切点的半径利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题2切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线判定常用的证明方法：知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径七、三角形与圆1三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形外心是三角形三条垂直平
5、分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等2三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等考向一 圆的基本认识1在一个圆中可以画出无数条弦和直径2直径是弦，但弦不一定是直径3在同一个圆中，直径是最长的弦4半圆是弧，但弧不一定是半圆弧有长度和度数，规定半圆的度数为180，劣弧的度数小于180，优弧的度数大于1805在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧典例1 下列命题中正确的有弦是圆上任意两点之间的部分；半径是弦；直径是最长的弦；弧是半圆，
6、半圆是弧A1个B2个C3个D4个【答案】A【解析】弦是圆上任意两点之间所连线段，所以错误；半径不是弦，所以错误；直径是最长的弦，正确；只有180的弧才是半圆，所以错误，故选A1把圆的半径缩小到原来的，那么圆的面积缩小到原来的ABCD2半径为5的圆的一条弦长不可能是A3B5C10D12考向二 垂径定理1垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立2垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据典例2 如图，已知O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=AcmB3cmC5cmD6cm【答案】D【解析】如图，连接OA，
7、O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，CD是O的直径，CDAB，AE=BE，OE=3，OA=6，AE=，AB=2AE=，故选D典例3 如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为A2 cmB cmCD【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长作ODAB于D，连接OA根据题意得OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm，根据垂径定理得AB=2cm故选C3如图，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是A3B6C4D84如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨
8、度弦AB的长为米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三 弧、弦、圆心角、圆周角1圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1的角，1的圆心角对着1的弧2圆周角要具备两个特征：顶点在圆上；角的两边都和圆相交，二者缺一不可典例4 如图，在O中O=50，则A的度数为A50B20C30D25【答案】D【解析】A=BOC=50=25故选D典例5如图，AB是O的直径，ACD内接于O，延长AB，CD相交于点E，若CAD=35，CDA=40，则E的度数是A20B
9、25C30D35【答案】B【解析】如图，连接BD，AB是O的直径，ADB=90，由三角形内角和定理得，ACD=180CADCDA=105，ABD=180ACD=75，BAD=90ABD=15，E=CDADAB=25，故选B5如图，AB为O的直径，点C在O上，若OCA=50，AB=4，则的长为ABCD6如图，AB是O的直径，COD=38，则AEO的度数是A52B57C66D78考向四 点、直线与圆的位置关系1点和圆的位置关系：在圆上；在圆内；在圆外2直线和圆的位置关系：相交、相切、相离典例6已知O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与O的位置关系是A点A在O上B点A在O内C点A在O外D点A
10、与圆心O重合【答案】C【解析】O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点A在O外故选C【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断典例7在ABC中，AB=AC=2，A=150，那么半径长为1的B和直线AC的位置关系是A相离B相切C相交D无法确定【答案】B【解析】过B作BDAC交CA的延长线于D，BAC=150，DAB=30，BD=1，即B到直线AC的距离等于B的半径，半径长为1的B和直线AC的位置关系是相切，故选B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BDAC交CA的延长线于D，求出BD和B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力7如图，O的半径
11、为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=38cm，则点A与O的位置关系是A在O内B在O上C在O外D以上都有可能8如图，O的半径OC=5cm，直线lOC，垂足为H，且l交O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移_cm时与O相切考向五 切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法典例8如图，O以AB为直径，PB切O于B，近接AP，交O于C，若PBC=50，ABC=A30B40C50D60【答案】B【解析】O以AB为直径，PB切O于B，PBA=90，PBC=50，ABC=40故选B典例9如图，RtABC中，C90，AB
12、5，AC3，点E在中线AD上，以E为圆心的E分别与AB、BC相切，则E的半径为ABCD1【答案】B【解析】作EHAC于H，EFBC于F，EGAB于G，连接EB，EC，设E的半径为r，如图，C=90，AB=5，AC=3，BC=4，而AD为中线，DC=2，以E为圆心的E分别与AB、BC相切，EG=EF=r，HC=r，AH=3r，EHBC，AEHADC，EHCD=AHAC，即EH=，SABE+SBCE+SACE=SABC，故选B9已知四边形ABCD是梯形，且ADBC，ADBC，又O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是A大于B等于C小于D不能确定10如图，以等腰ABC的腰AB为的直径交底边于，于 求证：（1）；（2）为的切线 1下列关于圆的叙述正确的有圆内接四边形的对角互补；相等的圆周角所对的弧相等；正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；同圆中的平行弦所夹的弧相等A1个B2个C3个D4个2如图，AB是O的直径，C是O上一点（A、B除外），AOD=136，则C的度数是A44B22C46D363