1、梧 州 学 院毕 业 论 文 论文题目 对称性在积分中的应用 学 院 信息与电子工程学院 专 业 数学与应用数学 班 级 14数学班 学 号 202300601009 学生姓名 甘秋丽 指导教师（签名） 完成时间 2023 年 月梧州学院学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立完成所得的成果。除了文中特别加以标注引用的内容之外，本论文不包含法律上任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究所作出重要奉献的个人和集体，均已在文中以明确方式说明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。论文作者签名：日期：摘 要在中学我们就初步学习了关于对称性的知识，然
2、后是逐步深入学习，到大学的学习中，我们接触到了微积分这个概念，我们发现，积分知识在微积分的学习中即是重点也是难点，尤其是在解决积分计算的问题上。本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个定理和证明，经过多方考察和查阅资料，运用分类比照和归纳总结的数学思想方法，研究对称性在定积分、重积分、曲线积分和曲面积分的应用。首先是通过了解对称性的研究背景和研究意义，引出对称性定理；在研究对称性应用时，需要理解这些积分的一般定义，本人在查找资料和学习理解之后，合理引入对称性定理，并对同类定理进行了证明，归纳总结它们的对称性特点，分类讨论，然后根据定理，举例子说明或解决一些积分计算问题。因此，在遇到一些
3、具有对称性的函数或积分时，可以利用对称性定理来减少数值的计算量，使计算过程得以简化。关键词：对称性；奇偶性；定积分；重积分；曲线积分；曲面积分The application of symmetry in integralAbstract In the middle school we have initially learned about the symmetry of knowledge, and then gradually in-depth study, to the University of learning, we have access to the concept of ca
4、lculus, we found that integral calculus in the study is the focus is also difficult, especially in solving the problem of integral computing. This paper studies the application of symmetry in definite integral, heavy integral, curvilinear integral and curved area division by means of various investi
5、gation and reference data, using the mathematical method of classification comparison and summarization. The first is to understand the research background and significance of symmetry, and then draw the symmetry theorem. In the study of symmetric applications, first of all, we must understand the g
6、eneral definition of these integrals, after looking at the data and learning to understand, the rational introduction of the symmetry theorem, and the proof of the same kind of theorem, summed up their symmetry characteristics, classified discussion, and then according to the theorem, examples to so
7、lve the problem Therefore, in the face of some symmetric functions or integrals, the symmetry theorem can be used to reduce the numerical calculation and optimize the integral calculation. Key words: Symmetry; parity; definite integral; weight integral; curvilinear integral; curved area 目 录第一章 绪论11.
8、1 研究背景11.2 研究意义11.3 对称性与奇偶性2第二章 定积分中对称性的应用32.1 定积分的定义32.2 定积分计算里对称性的应用3第三章 重积分中对称性的应用53.1 二重积分计算中对称性的应用5三重积分计算中对称性的应用8第四章 曲线积分中对称性的应用11第一型曲线积分中对称性的应用11第二型曲线积分中对称性的应用12第五章 曲面积分中对称性在的应用16第一型曲面积分中对称性的应用16第二型曲面积分中对称性的应用19第六章 总结23参考文献24致 谢26第一章 绪论1.1 研究背景中学学习中，我们已经接触过对称，学习了对称性的一些简单定理。在我们学习了积分内容后，我们发现，对称性
9、在积分中也有很多的应用，在物理学中，也有关于对称性的一些应用。对称性思想已经有了大约2500年的历史。什么是对称性定理？对称性定理又是怎样产生的呢？在1894年，对后来影响深远的“对称性原理被数学家总结出来了，这个伟大的数学家就是居里（P.Curie,）。这个定理给后来的对称性研究奠定了很大的根底，它的内容是“原因中的对称性必然反映在结果中，即结果中的对称性至少有原因中的对称性那样18。真正从数学上提出“变换不变性问题的是克莱因（C.F.Klein,）,伟大的“爱尔朗纲领（Erlangen Programm），诞生于1872年，是由克莱因提出的，这个纲领的发现离不开他的坚持不懈，它是在他研究度
10、量几何和射影几何和关系时发现产生。即每种几何都可以经过变换群的变换而成，而且要在它们的变换群下考虑它的不发生变化的量。这是数学对称性原理就是，诞生的标志18。关于“对称性和“变换不变性，它们之间有没有联系呢？寻求它们之间的联系促使了数学家们不断研究探讨。首次把它们联系起来的是德国大数学家魏尔（H.Weyl,），他提出：所谓“变换，可以简单地用物理学解释，即为事物从一个形态转变成另一个形态的过程；事物从一种形态经变换到另一种形态之后，与原来的形态是相同的，我们就把这种变换现象叫做对称变换18。 畅游数学的海洋，它无穷而伟大，这里有许多无法用具体语言刻画的美，我们应该渗透数学的美学价值，让我们在感
11、知数学美的同时，更要培养起对数学的深厚情感及运用数学美的能力，从而提高我们对数学的直觉能力及创造思维能力。数学中的对称性也是一种美，掌握对称性知识使我们看到更多数学的美。在以前的学习中，我们可以发现对称性被应用在了定积分中，而在多元积分的应用很好，也可以说是没有的。这里我们就讨论一下对称性应用在多元积分的情况，如重积分、曲线积分和曲面积分，积极收集材料，认真学习和理解，归纳出对称性的应用，然后应用在实际求解过程中，这将会给我们带来很多的益处。 研究意义数学中的对称是一种美，也是一个重要的知识架构，我们在生产、科学研究和日常生活中也会经常遇到一些特殊的有关对称性的数学问题。我们发现，中学函数中存
12、在着对称，而在我们大学的积分中也非常普遍。在微积分思想中，积分计算是微积分的简单运算，也可以说是根本运算，但在求积分计算时，有一些是可以有几种解题方法的，而且，根据我们的归纳，其实是没有固定的方法的，它们解题的方法有多种，以我们需要因题而异进行尝试，寻找最方便快捷的方法。积分的求解中，我们往往会使用最简便的方法来求解，以使得简化运算，到达事半功倍的效果。我们都知道，在定积分的计算中运用到函数的奇偶性和对称性，可以简化运算，在重积分、曲面积分、曲线积分中利用平面区域的对称性同样也可以进行简化运算，在计算这些复杂的积分时，利用对称性可以化繁为简，效果显著。 对称性与奇偶性在讨论函数对称性时，我们一
13、般会引出函数的奇偶性，它是函数对称性的一种特殊的情况，其中画出并观察研究函数图像可知，奇函数的图像是关于坐标原点对称的，它是一种特殊的中心对称图形；同理，观察偶函数的图像，偶函数的图像是关于y轴对称的，是我们特殊的轴对称图形。因此，函数奇偶性可以作为我们学习函数对称性的根底，它对函数及函数其他性质的学习也有着非常重要的影响。定理1 假设连续函数的定义域是关于原点对称的，如果存在任意的，恒有，那么称函数为奇函数。假设函数的定义域是关于轴对称的，如果存在，都有，那么称函数为偶函数。这是关于函数奇偶性的简单判定定理，也是积分计算中对称性判断的根底。第二章 定积分中对称性的应用 定积分的定义定义116
14、 假设函数在上是有界的，随机在中插入个分点：，那么可把区间分为个小局部，其中表示第个小区间的长度，在每个小区间上任意选取一点，作乘积，并作出和式，记，假设存在极限，那么称此极限为在上的定积分，记为，并称在上可积，即，上式中，叫做被积函数，积分变量表示成，积分上限表示成，积分下限表示成，是函数的积分区间。 定积分计算中对称性的应用 如果函数在闭区间上连续，那么（1）假设函数为奇函数，那么有；（2）假设函数为偶函数，那么有。证明（1）因为为奇函数，有，即，所以。（2）同理可得，当为偶函数时，即，得证。例1 计算定积分。解 简化定积分，回忆上面给出的定理可知，被奇函数是关于对称的偶函数，还有是关于的
15、奇函数，直接使用对称性定理，有 。例2 计算。解 对于复杂的函数，我们考虑分步化简。首先我们知道 ，C为常数，令，那么有 ，其中被积函数是偶函数，所以由对称性理论可快速求解出来。第三章 重积分中对称性的应用一般的，我们知道，在积分区域的表示中，重积分会比定积分复杂一些，且重积分中被积函数一般都是多元函数，如二、三重积分，被积函数分别是二、三元函数，而且重积分中的关于函数变量也会比较复杂，它们的奇偶性也比定积分多变许多。 二重积分计算中对称性的应用定义2 假设，其中是有界闭区域，函数在上有意义，假设将区域任意分割成n个子区域，把区域的面积记为，在每个上任取点，作和式，假设分割的模时，这个和式存在极限，且它的极限值与分割区域的方式无关，与每个区域