1、12一元二次方程的应用知识网络重难突破知识点一 一元二次方程的解题步骤列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似： “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。 “解”就是求出说列方程的解； “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。知识点二 传播问题【解题关键】明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数典例1 一次会议上，每两个参加会议的人
2、互相握了一次手，有人统计一共握了45次手，如果这次会议到会的人数为x人，根据题意可列方程为（ ）Ax（x+1）=45Bx（x-1）=45C2x（x+1）=45D【答案】D【详解】设这次会议到会的人数为x人，则每人将与（x-1）人握手，依题意，得：x（x-1）=45，即x（x-1）=452故选：D典例2 在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（）人A9B10C12D15【答案】B【详解】解：设参加此次活动的人数有x人，由题意得：x（x1）90，解得：x110，x29（不合题意，舍去）即参加此次活动的人数是10人故选：B典例3 某班一物理科代表在老师的培训后学会了
3、某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为( )Ax+(x+1)x36B1+x+(1+x)x36C1+x+x236Dx+(x+1)236【答案】B【详解】设1人每次都能教会x名同学，根据题意得：1+x+(x+1)x36故选：B知识点三 增长率问题【解题关键】用含未知数的数据将题干中每年情况的数据表示出来，列出等量关系。典例1 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同设二
4、、三月份利润的月增长率x，那么x满足的方程为（）A10（1+x）242B10+10（1+x）242C10+10（1+x）+10（1+2x）42D10+10（1+x）+10（1+x）242【答案】D【详解】设二、三月份利润的月增长率x，则二月份获得利润10（1+x）万元，三月份获得利润10（1+x）2万元，依题意，得：10+10（1+x）+10（1+x）242故选D典例2 某县从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业。据统计，该县2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元预计2023年年“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该县2023年年，2023年年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（
5、 ）ABCD【答案】B解：设该市2023年年、2023年年旅游收入的年平均增长率为x，依题意，得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）故选B典例3 为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，设这两年的绿地面积的平均增长率是，则列出关于的一元二次方程为（ ）ABCD【答案】D【详解】设绿地面积为a，这两年平均每年绿地面积的增长率是x，根据题意列方程得：a（1+x）2=（1+21%）a，即（1+x）2=1+21%故选D知识点四 几何问题【解题关键】根据已知所学内容，将其用含未知数的形式表现出来。典例1 （2
6、023年河南初三期中）如图，某小区有一长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为（）米A2B1C8或1D8【答案】B【详解】解：设人行道的宽度为x米，则两块矩形绿地可合成长为（18-3x）米、宽为（6-2x）米的矩形， 根据题意得：（18-3x）（6-2x）=60， 整理得：x2-9x+8=0， 解得：x1=1，x2=8 86， x2=8舍去 故选：B典例2 在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）A
7、BCD【答案】C【详解】设金色纸边的宽为，则矩形挂图的长为（80+2x）cm,宽为（50+2x）cm,依题意得（80+2x）（50+2x）=5400，化简为故选C.典例3 芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如图，将该图形补充四个边长为的小正方形后，得到一个矩形，已知矩形的面积为，根据图中信息，可得的值为（ ）A10B20C25D30【答案】B【详解】依题意得到补全后的矩形长为x+30，宽为x+20,故(x+30)( x+20)=2000,解得x1=20,x2=-70(舍去)故选B.巩固训练一、单选题（共10小题）1（2017春 卫辉市期中）今年“国庆节”和“中秋节”双节期
8、间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( )A9人 B10人 C11人 D12人【答案】B【解析】试题解析：设这个QQ群共有x人，依题意有x（x-1）=90，解得：x=-9（舍去）或x=10，这个QQ群共有10人故选B.2（2023年春 季店乡期末）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A9人B10人C11人D12人【答案】C【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：x（x-1）=55，化简得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=
9、-10（舍去），故答案为：C.3（2023年春 永登县期末）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）A50（1+x）2182B50+50（1+x）2182C50+50（1+x）+50（1+2x）182D50+50（1+x）+50（1+x）2182【答案】D【详解】依题意得五、六月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2，50+50(1+x)+50(1+x)2=182.故答案选D.4（2023年春 富顺县期中）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币
10、观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）.A8% B9% C10% D11%【答案】C【解析】分析：设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1-x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可详解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得6000（1-x）2=4860，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）答：平均每次下调的百分率为10%故选：C【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键
11、5（2023年春 贵阳市期末）祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）Ax(x-1)2 =930 Bx(x+1)2=930 Cx（x+1）=930 Dx（x1）=930【答案】D【解析】分析：可设全班有x名同学,则每人写(x-1)份留言,共写x(x-1)份留言,进而可列出方程即可.详解：设全班有x名同学，则每人写（x1）份留言，根据题意得：x（x1）=930，故选：D【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,其中x(x-1)不能和握手问题那样除以2,另外这类问题转化为一元二次方程
12、求解时应注意考虑解的合理性,即考虑解的取舍.6（2023年春 浦东新区期中）微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2016年“元旦节”收到微信红包为300元，2023年年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，根据题意可列方程为()A300(1+2x)675 B300(1+x2)675C300(1+x)2675 D300+x2675【答案】C【详解】这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，由题意得：300(1+x)2675，故选C【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用增长率问题，正确理解题意，表示出2017、2023年年微信收到的红包是解题的关键.7（2023
13、年春 河东区期中）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A10646x=32B（102x）（62x）=32C（10x）（6x）=32D1064x2=32【答案】B【解析】分析：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（102x）cm，宽为（62x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解详解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒
14、底面的长为（102x）cm，宽为（62x）cm，根据题意得：（102x）（62x）32故选：B【名师点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键8（2023年春 天山师中考）从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48，则原来这块木板的面积是（ ）A100B64C121D144【答案】B【解析】设原来正方形木板的边长为xm，从一块正方形木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的仍然是一个长方形，此时这个长方形的长等于原来正方形木板的边长，宽等于正方形木板的边长减去2m，根据剩下的长方形的面积是48m2，列出方程：x（x2）=48，解得x1=8，x2=6（不合题意，舍去）。原来这块木板的面积是88=64（m2）。故选B。9（2023年春 驻马店期末）某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2017年起到2023年年累计投入4250万元，已知2017年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（）A1500（1