1、第 39 卷第 1 期2023 年 2 月天 津理工大学学报JOUNAL OF TIANJIN UNIVESITY OF TECHNOLOGYVol.39 No.1Feb 2023收稿日期:20210818;修订日期:20211009基金项目:国家自然科学基金(12072234，11872044)DOI:10.3969/j.issn.1673095X.2023.01.008Z 型梁质量块结构内共振频率的参数设计王赛1，2，郝淑英1，2，何赢男1，2，张昆鹏1，2*，张琪昌3(1 天津理工大学 天津市先进机电系统设计与控制重点实验室，天津300384;2 天津理工大学 机电工程国家级实验教学示范
2、中心，天津300384;3 天津大学 天津市非线性动力学与控制重点实验室，天津300072)摘要:内共振频率设计是将内共振应用于工程的前提，采用哈密顿原理推导了 Z 型梁质量块结构的运动控制方程和边界条件，进而得到结构的固有频率。通过调节折叠角度和质量块质量进行结构的内共振频率设计，并给出不同频率比的参数范围。结果表明:随着折叠角度的增加，1 阶固有频率逐渐增大，而 2 阶固有频率具有先减小后增大的趋势。在较大的折叠角度下，调节质量块的质量能够分别满足 1 2，1 3，1 4 的频率比条件。关键词:Z 型梁;折叠角度;内共振;频率比中图分类号:O321文献标识码:A文章编号:1673095X(
3、2023)01004805Parameter design of internally resonant frequency inZ-shaped beam with mass block structureWANG Sai1，2，HAO Shuying1，2，HE Yingnan1，2，ZHANG Kunpeng1，2*，ZHANG Qichang3(1.Tianjin Key Laboratory for Advanced Mechatronic System Design and Intelligent Control，Tianjin University of Technology，T
4、ianjin 300384，China;2.National Demonstration Center for Experimental Mechanical and Electrical Engineering Education，Tianjin University of Technology，Tianjin 300384，China;3.Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Control，Tianjin University，Tianjin 300072，China)Abstract:The design of interna
5、l resonance frequencies is the premise of applying internal resonances to engineering In thispaper，the governing equation of motion and boundary conditions of Z-shaped beam with mass structure are derived by usingHamilton principle，and then the natural frequency of the structure is obtained The fold
6、ing angle and mass block are adjusted todesign the internal resonance frequency of the structure and the parameter ranges of different frequency ratios are obtained Theresults show that with the increase of folding angles，the first-order natural frequency increases gradually，and the second-ordernatu
7、ral frequency decreases firstly and then increases The mass of the mass block is adjusted to meet the conditions of 12，13 and 14 frequency ratios at a large angle，respectivelyKey words:Z-shaped beam;folding angle;internal resonance;frequency ratio内共振一般是指当结构的某两阶固有频率比值为整数时，振动能量可在各阶模态上相互传递，在一定条件下出现能量饱和
8、和渗透等现象。近年来，有关利用内共振的研究已受到越来越多的关注。VYAS 等1 根据 12 内共振产生的非线性模态相互作用原理设计了 T 型梁谐振器。邹政2 研究了 T 型压电俘能器的2023 年 2 月王赛，等:Z 型梁质量块结构内共振频率的参数设计12 内共振现象，有效扩展了俘能器的频率带宽，提高了其输出功率。宋甲文3 采用悬臂多段梁质量块结构设计低频能量采集器，通过质量块降低梁的固有频率并达到 12 内共振，从而获得更高的输出功率。进行内共振的频率设计是采用非线性内共振的前提。设计内共振频率比的方式包括磁力相互作用、悬臂摆、多自由度设计等。磁相互作用多在梁末端增设磁铁块，用永磁铁4 或电
9、磁力5 的引力和斥力调节内共振。悬臂摆6 是在悬臂梁末端增设自由摆进行内共振调节。多自由度设计往往通过多段悬臂梁结构或末端加质量块调节内共振，且多与前几种方法同时应用。WAMINSKI 等7 研究了 L 型梁质量块结构的运动特性，描述了面内和面外运动的数值求解方法和试验方法，并经过试验测试发现了 L 型梁质量块调整为 14 内共振的条件。CHEN 等8 将 L 型梁质量块结构应用于能量采集器的研究，在增加频率调谐磁铁情况下，使结构产生 12 内共振，并研究两模态间的非线性能量交换，从而增加频率带宽并产生大振幅响应。ZHANG 等9 研究了 Z 型梁在 12 内共振时的非线性动力学特性。张杨10
10、 研究了 Z 型折叠翼在 11 和 12 内共振下的非线性动力学特性。HU 等11 通过同时考虑 Z 型结构的横向和轴向位移，采用哈密顿原理推导了控制方程并求出 12 内共振时的模态振型。文中采用哈密顿原理11 推导 Z 型梁质量块结构的无阻尼自由振动方程和边界条件，进而求出结构的固有频率。通过调节折叠角度和质量块质量进行结构的内共振频率设计，并给出不同频率比的参数范围。1Z 型梁质量块结构动力学方程Z 型梁质量块结构如图 1 所示，梁左端为固定端，梁右端为质量块。梁与梁、梁与梁间夹角均为 。在 3 段梁左端分别建立局部坐标系 Oi xiyi，其中 i=1，2，3，且每段梁轴向与 xi方向重合
11、。如图 1b 点的位移所示，第 i 梁上点 p 在局部坐标 Oi xiyi中移动到点 p的横向位移为 vi。基于欧拉伯努利梁理论并考虑梁图 1Z 型梁质量块结构Fig.1The structure of Z-shaped beam with mass block的面内运动，各段梁在全局坐标中的位置向量为:r1=1x1v1 (1)1=1001(2)r2=r1(L1)+2x2v2 (3)2=cos(v1(L1)+)sin(v1(L1)+)sin(v1(L1)+)cos(v1(L1)+)(4)r3=r2(L2)+3x3v3 (5)3=cos(v1(L1)+v2(L2)sin(v1(L1)+v2(L2
12、)sin(v1(L1)+v2(L2)cos(v1(L1)+v2(L2)(6)式中:Li为第 i 段梁长。Z 型梁质量块结构的总动能 T、每段梁的平动动能 Ti、质量块的平动动能 TKP和转动动能 TKZ分别为:T=3i=1Ti+TKP+TKZ(7)Ti=Li0Ai12iri2dAidxi=Li0hTid xi(8)TKP=12Mk|r3(L3)|2(9)TKZ=12J(v3)2(10)式中:hTi为能量密度;Mk为质量块的质量;i为各段梁的密度;Ai为各段梁的横截面积;J 为质量块转动惯量。94天津理工大学学报第 39 卷第 1 期Z 型梁结构的总势能 V12 为:V=3i=1Vi=3i=1L
13、i0Aiii2dAidxi=3i=1Li0hVidxi(11)i=ui yivi(12)i=Ei(13)式中:hvi为能量密度;ui为轴向位移求 1 阶导数;vi为横向位移求 2 阶导数;i为各段梁的轴向应变;i为 各 段 梁 的 轴 向 正 应 力;E 为 弹 性模量。将式(7)和式(11)代入哈密顿原理式，得:t2t1Idt=t2t1(T V)dt=0(14)通过式(14)的变分计算，可得到控制方程(15)和边界条件(16)为:v1+E1I11A1v(4)1=0，v2+E2I22A2v(4)2+cos v1(L1)+x2v1(L1)=0v3+E3I33A3v(4)3+cos L2v1(L1
14、)+v2(L2)+x3 v1(L1)+v2(L2)+v1(L1)=0(15)hVivivi|xi=0=0，2hVixivivi|xi=0=0hVivi|xi=Li+3j=i+1Lj02hTj vi(Li)tdxj+2TKP vi(Li)t vi(Li)=02hTixivi|xi=Li3j=i+1Lj02hTj vi(Li)tdxj2TKP vi(Li)t vi(Li)=0(16)设控制方程(15)的模态函数为:vi=Ci1cos(ixi)+Ci2sin(ixi)+Ci3ch(ixi)+Ci4sh(ixi)(17)i=4iAi2EiIi(18)式中:为梁的固有圆频率;Ii为截面惯性矩。利用式(1
15、7)，结合控制方程(15)与边界条件(16)可得频率特征方程，进而求得系统的各阶固有频率。2Z 型梁质量块结构的固有频率分析Z 型梁中的 3 段梁的尺寸一致，长、宽、厚分别为 0.1，0.02，0.001 m，密度为 2 770 kg/m3，弹性模量为 69 GPa。质量块为正方体，其边长为0.008 m，密度为 7 850 kg/m3，弹性模量为 200 GPa13。为验证理论计算结果，选取折叠角度=122，采用 ANSYS 有限元仿真与理论计算结果对比，如图 2所示。图 2=122时 1 阶模态Fig.21st mode shape of=122Z 型梁质量块结构有限元仿真14 的 1 阶
16、固有频率 f1=12.13 Hz，而理论计算的 1 阶固有频率 f1=052023 年 2 月王赛，等:Z 型梁质量块结构内共振频率的参数设计12.115 Hz，且二者 1 阶模态振型趋势相符，验证了理论计算的可靠性。Z 型梁的折叠角度与质量块的质量是影响结构固有频率的重要参数。图 3 为 Z 型梁质量块的前两阶固有频率、折叠角度和质量间的关系。由图 3 可知，随着 Z 型梁折叠角度的增加，1 阶固有频率逐渐增大而 2 阶固有频率具有先减小后增大的特点，意味着在特定的折叠角度下，较低的激励频率将能激发 2 阶模态共振。此外，随着质量块质量的增加，1 阶和 2 阶固有频率均逐渐降低，但在折叠角度和质量块均较大时，1 阶固有频率下降更明显。上述 Z 型梁质量块结构固有频率随参数变化的特点，为进行内共振频率比的参数调节提供了更多的选择。图 3Z 型梁质量块的固有频率Fig.3Natural frequency of Z-shapedbeam with mass block3Z 型梁质量块的内共振频率设计为进行结构的内共振频率设计，满足固有频率的整数比条件，深入分析折叠角度和质量参数对内共振频