1、DC/DC 变换器稳态运行谐波状态空间模型王建宇1，李先允1，颜云松2，陈永华2，杨城1(1 南京工程学院 电力工程学院，南京 211167;2 南瑞集团(国网电力科学研究院)有限公司，南京 211106)摘要:针对传统的状态空间平均法在建模中损失纹波信息的缺陷，基于线性时间周期理论和谐波线性化理论，采用傅里叶分解法，建立 DC/DC 变换器稳态运行下的谐波状态空间模型，绘制 DC/DC 变换器的谐波等效电路，从频域角度描述拓扑电流和电压的映射过程;在输入侧加入小扰动，建立 DC/DC 变换器的谐波状态空间小扰动描述矩阵，对稳态谐波和扰动间谐波进行分析。仿真与实验结果表明，基于谐波状态空间的
2、DC/DC 电路建模方法具有极高的精确性，在未来多变流器的配网场景谐波分析中具有一定的工程运用价值。关键词:线性时间周期;谐波线性化;谐波状态空间;谐波等效电路;间谐波DOI:10 19753/j issn1001-1390 2023 04 016中图分类号:TM46文献标识码:B文章编号:1001-1390(2023)04-0113-08Harmonic state space model for steady state operation of DC/DC convertersWang Jianyu1，Li Xianyun1，Yan Yunsong2，Chen Yonghua2，Yang
3、 Cheng1(1 School of Electric Power Engineering，Nanjing Institute of Technology，Nanjing 211167，China2 NAI Group Corporation(State Grid Electric Power esearch Institute)Co，Ltd，Nanjing 211106，China)Abstract:The traditional state space averaging method can cause the loss of ripple information in the mod
4、eling To ad-dress this defect，the Fourier decomposition method is used to establish harmonics under steady-state operation of DC/DCconverter state space model，based on the linear time period theory and harmonic linearization theory To describe themapping process of topology current and voltage in fr
5、equency domain，the harmonic equivalent circuit of DC/DC converteris drawn;to analyze the steady-state harmonics and disturbance inter-harmonics，a small disturbance on the input side isadded and a disturbance description matrix of small harmonic state space of the DC/DC converter is established Accor
6、d-ing to the results of simulation and experiment，the DC/DC circuit modeling method based on the harmonic state space hashigh accuracy，which also insures certain future engineering application value in the harmonic analysis of distribution net-work scenarios with multiple convertersKeywords:linear t
7、ime periodic，harmonic linearization，harmonic state space，harmonic equivalent circuit，inter-har-monics基金项目:国家重点实验室开放课题研究项目(SGN000GZJS1808091);江苏省重点研发计划项目(BE2018130);江苏省研究生实践创新计划项目(SJCX180576)0引言精确的电力电子模型是确定系统最佳工作点、进行控 制 系 统 设 计 的 前 提。传 统 的 状 态 空 间 平 均(SSAV)法1 由于其步骤简单、概念清晰被广泛使用在斩波电路的建模中2-4。然而，随着新能源并网技
8、术的发展，电力系统中多并联连接的电力电子设备不断增加，各类变流器和网络系统的复杂性使得 SSAV 法逐渐无法满足建模精度要求。在此背景下，广义状态空间平均(GAV)方法被众多国内外学者考虑用于大功率电力电子系统的建模5-7，GAV 将重要的谐波包含在模型中但忽略了网络中次要的谐波分量，也不能体现多变流器系统中非线性组件间的相互作用。上世纪 90 年代初，基于线性时间周期(LTP)理论的谐波状态空间(HSS)建模方法被广泛运用于机械和土木工程中的周期振动分析8-9，由于电气模型中的各次谐波项以不同频率存在于系统，HSS 法可根据不同频率将时变周期311第 60 卷第 4 期电测与仪表Vol 60
9、 No42023 年 4 月 15 日Electrical Measurement InstrumentationApr15，2023系统变换为多输入多输出的线性时不变(LTI)系统，并模拟多频输出多频输入间的相互作用，从而分析复杂系统的谐波耦合和稳定性以及附加的谐波阻抗，这是传统基于 LTI 系统的众多建模方法无法分析的问题。2008 年，新西兰的 Geoffrey N Love 推导了建立变换器谐波状态空间模型的方法10，并以 Buck-Boost 拓扑为例，演示了建模的步骤，但该法形式较为复杂，且缺少系统在扰动下的谐波耦合研究，不利于 HSS 建模推广。近几年文献 11-12在风电场并网
10、的宽频振荡及稳定性研究中也引入 HSS 的建模方法并取得了一系列成果，研究重点在于 MMC 拓扑的阻抗模型及子系统间的稳定控制，模型使用的调制函数是理想化的正弦函数，谐波情况较好。文中以常见的升压型 DC/DC 变换器作为研究对象，根据周期系统的特点，将时变方程转化为频域定常方程，并得出稳态下各状态变量的谐波频域值，根据该值绘制 DC/DC 谐波等值电路，物理概念明确，便于开展与其他接口模型进行互联、最终形成多变换器背景下的配电网谐波模型，为后续基于 HSS 研究系统谐波耦合特性打下基础。1谐波状态空间1 1 线性周期系统在选定的一组状态变量下，线性系统的状态空间描述可表示为如下形式:x=A(
11、t)x+B(t)uy=C(t)x+D(t)u(1)若系数矩阵 A(t)、B(t)、C(t)、D(t)的各个元素都是与时间 t 无关的常数，则系统为线性定常(LTI)系统，反之为线性时变系统。特殊的，当四个系数矩阵均存在关系:A()t+T=A(t);B()t+T=B(t)C()t+T=C(t);D()t+T=D(t)(2)即都是以固定时间 T 为周期的矩阵函数，则该系统即为线性时间周期(LTP)系统。1 2 谐波状态空间模型基于谐波线性化理论和傅里叶分解方法，式(1)中时域形式的周期状态空间描述可以变换为频域形式的谐波状态空间描述，如式(3)所示。sX=A()X+BVY=CX+DV(3)式(3)
12、中，sC。A、B、C、D、X、V 分别如式(4)式(6)所示，式(4)的 Xk是状态变量 x(t)的 k 次谐波的傅里叶系数，输入 V、输出 Y 与 X 有相同表示;A、B、C 与 D 是形如式(5)的双无限 Toeplitz 矩阵;式(6)中 是表示频率信息的块对角矩阵，其元素 体现了矩阵所在行的频率信息，的个数与状态变量个数相同。X=Xh，XX 1，X0，X1，XhT(4)A=A0A1A2A3A1A0A1A2A2A1A0A1A3A2A1A0(2h+1)(2h+1)(5)=diag，()，=diag jh，j，0，j，jh()(6)此外，对于式(3)中的谐波状态方程，令左侧为 0，即可得到状
13、态变量的稳态值:Xss=A()1BV(7)求出状态变量的各谐波频域稳态 Xss值后，可以用式(8)将所有频域值归算至时域验证 HSS 模型描述的正确性。x(t)=P(t)Xss(8)这里，P(t)与 Xss由式(9)给出，表示各谐波分量的傅里叶系数叠加，形成各状态变量的时域解析式。P(t)=ejkt，ejt，1，ejt，ejktXss=Xk，X1，X0，X1，Xk(9)2基于 HSS 的 DC/DC 变换器模型2 1 稳态谐波状态空间建模文中选用的 Boost 案例是具有升压功能的 DC/DC变换器。Boost 变换器工作原理如图 1 所示。图 1Boost 变换器工作原理Fig 1Worki
14、ng principle of Boost converter图 1(a)为 Boost 变换器拓扑，电路分别由输入直流电压源 V、储能电感 L、二极管 D、MOSFET 管 Q、输出411第 60 卷第 4 期电测与仪表Vol 60 No42023 年 4 月 15 日Electrical Measurement InstrumentationApr15，2023电容 C 及负载 组成。电路稳态时，在开关器件两种切换状态下，Boost 可看做不同拓扑的周期性组合。器件导通时，拓扑如图 1(b)所示，二极管因反向偏置而截断，L 储能，C 供给负载电能;器件关断时，二极管正向导通，输入侧电源与电
15、感同时向负载端与电容供电。列写图 1(b)与图 1(c)的两种等效电路下的状态方程:ddtiL(t)uC(t)=0001CiL(t)uC(t)+1L0VddtiL(t)uC(t)=01L1C1CiL(t)uC(t)+1L0V(10)综合式(10)两式，可以得到两种状态下的系数矩阵为:A1=0001C，A2=01L1C1CB1=B2=1L0T(11)用 d 表示该 DC/DC 变换器的占空比，结合式(10)、式(11)可得一个开关周期内的状态变量方程:X=dA1+dA()2X+BVy=CX;d=1 d;X=iL(t)uC(t);B=1L0T(12)此时，将单个周期内的开关行为映射至整个时域，如图
16、 2 所示。图 2开关状态与开关函数关系图Fig 2elationship diagram between switchingstate and switching function随着开关管 Q 以固定频率开断，变换器的两种拓扑也以相同的方式切换，形成稳定的周期系统。在整个工作时间段内，设开关器件 Q 对于时间 t 的开启函数为 d(t)，关闭函数为 d(t)，图 2 显示了开关管 Q 的状态与系统状态方程中开关函数 d(t)和 d(t)之间的关系。由于开启函数与关闭函数在时域内互补，结合式(10)和式(12)，对于图 1 的拓扑有:x1x2=0d(t)Ld(t)C1Cx1x 2+1L0Vy=01x1x2(13)式(13)中，x1=iL(t)，x2=uC(t)。由于 d(t)是周期矩形波，故通过图 3 将其转化为三角级数求和的形式以便于 HSS 模型中周期系数矩阵的傅里叶系数求解。图 3周期矩形波表达式演化Fig 3Evolution of expression of periodic rectangular wave此时，由傅里叶变换可以得到 d(t)的傅里叶系数 Dk:Dk=1T