1、文章编号：1000-5641(2023)02-0005-07Hermite R-反对称矩阵的二次特征值反问题齐志萍,张澜（内蒙古工业大学 理学院,呼和浩特010051）摘要:研究了 Hermite R-反对称矩阵的二次特征值反问题.利用矩阵分块法、奇异值分解、向量拉直和Moore-Penrose 逆,证明了该问题 Hermite R-反对称解的存在性,给出了 Hermite R-反对称解的一般表达式,讨论了最佳逼近问题.并给出了算例验证理论的正确性.关键词:Hermite R-反对称矩阵;奇异值分解;向量拉直;最佳逼近中图分类号:O175.3文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.
2、1000-5641.2023.02.002The Hermitian R-antisymmetric solution of an inversequadratic eigenvalue problemQI Zhiping,ZHANG Lan（College of Sciences,Inner Mongolia University of Technology,Hohhot010051,China）Abstract:In this paper,we consider the inverse problem of quadratic eigenvalue for a Hermitian R-an
3、tisymmetric matrix.By using the matrix block method,singular value decomposition,vectorstraightening,and the Moore-Penrose inverse,we prove the existence of a Hermitian R-antisymmetricsolution.In addition,we provide the general expression for a Hermitian R-antisymmetric solution,anddiscuss the best
4、approximation thereof.Finally,an example is offered to validate the theory.Keywords:Hermitian R-antisymmetric matrix;singular value decomposition;vector straightening;optimal approximation 0 引言xM,C,K二次特征值反问题是指给定部分特征值 和特征向量 ,求矩阵 ,使得(2M+C+K)x=0成立.目前关于矩阵的二次特征值反问题已有不少研究成果1-6.对于二次特征值反问题,文献 7 利用矩阵的奇异值分解和矩
5、阵的 Kronecker 乘积研究了二次特征值反问题的双对称解,给出方程双对称解的一般表达式及最佳逼近解;文献 8 利用矩阵的奇异值分解研究二次特征值反问题的反自反解的存在性;文献 9 利用反馈控制法研究了对称矩阵的二次特征值反问题;文献 10 通过将特征值问题线性化,研究了矩阵广义特征值的求解问题.Hermite R-对称矩阵和 Hermite R-反对称矩阵在信息论、线性系统理论、工程通讯等领域具有一定的实际意义.中心反对称矩阵是 R-反对称矩阵的特殊情况.收稿日期:2021-04-02基金项目:内蒙古自治区自然科学基金(2018MS01002)通信作者:张澜,女,副教授,研究方向为算子谱
6、理论.E-mail: 第 2 期华东师范大学学报(自然科学版)No.22023 年 3 月Journal of East China Normal University(Natural Science)Mar.2023本文将研究复数域上 Hermite R-反对称矩阵的二次特征值反问题.Cmnm nUnnnHnnnInnA BABAAunvecm,n(A CmnmnAm nA CmnA,AT和A+AA,B CmnA,B=Re(tr(BA)A=A,A=(Re(tr(AA)12用 表示所有 复矩阵组成的集合,表示所有 阶酉矩阵组成的集合,表示所有 阶 Hermite 矩阵组成的集合,表示 阶单位矩
7、阵,表示矩阵 与 的 Kronecker 乘积,vec()表示矩阵 的按列拉直向量,)表示由 维 向量反拉直得到 阶矩阵,对于 ,用 分别表示矩阵 的共轭转置,转置和 M-P 逆.对任意的矩阵,定义矩阵内积 ,则由它诱导的范数为 Frobenius 范数,即 .R CnnR=R=R1/=In,A CnnA=A,RAR=AAHRnnanR设矩阵 是一个非平凡酉对合矩阵,即 ,若 ,则称 是 Hermite R-反对称矩阵,用 表示所有 阶 Hermite R-反对称矩阵组成的集合.文中所涉及的酉对合矩阵 是固定的.本文在复矩阵范围考虑问题,问题的处理比实矩阵范围要困难.具体考虑如下问题,并在问题
8、 1 的解集中进一步求得任给矩阵的最佳逼近矩阵.X=(x1,x2,xm)Cnm=diag(1,2,m)CmmM,C,K HRnna问题 1给定矩阵 ,求矩阵 ,使得MX2+CX+KX=0.(1)SMCK?M,?C,?K Cnn,(M,C,K)SMCK问题 2设问题 1 的 Hermite R-反对称解的集合为 ,给定任意矩阵 求,使得(?M,?C,?K)(M,C,K)2=min(M,C,K)SMCK(?M,?C,?K)(M,C,K)2.(2)1 问题 1 的解R=R=R1/=Inr,s(r,s 1,r+s=n)RP,QRP=(p1,p2,pr),Q=(q1,q2,qs)RP=P,RQ=Q(P,
9、Q)1=(PQ)RR=(P,Q)(Ir00Is)(PQ)A HRnnaA=(P,Q)(ApCCAq)(PQ)Ap=PAP Hrr,Aq=QAQ HssC=PAQ CrsRAR=(P,Q)(ApCCAq)(PQ)首 先 给 出 Hermite R-反 对 称 矩 阵 的 结 构 性 质 及 等 价 表 示.给 定 ,令 分别表示酉对合矩阵 的两个特征值 1 和1 的特征子空间的维数,由矩阵 的两个特征子空间的正交基构成,则有 且 .因 此 可 写 成 .对 任 意 的 ,设 ,其中 ,且 ,因此有 .为了求解问题 1,需要用到如下引理.A CnnC Crs引理 111若 ,则 A 是 Hermi
10、te R-反对称矩阵,当且仅当存在 ,使得A=(P,Q)(0CC0)(PQ).m,nD(m,n)Cmnmn引理 212设 是给定的正整数,则存在唯一矩阵 ,使得D(m,n)vec(X)=vec(XT),X Cmn,D(m,n)m,n 由维数 所确定,且D(m,n)=mi=1nj=1Eij ETij,6华东师范大学学报(自然科学版)2023 年Eij Cmn(i,j)D(m,n)=D其中 是 元素为 1,其余元素为 0 的矩阵,简记 .A,B CmnAX=BAA+B=BX=A+B+(In A+A)YY Cnn引理 313设 ,则矩阵方程 有解当且仅当 ,其通解可表示为,其中 为任意矩阵.先讨论问
11、题 1 的 Hermite R-反对称解.X(PQ)X=(X1X2)X1 Crm,X2 CsmM,C,K HRnna对问题 1 中所给 ,令 ,其中 ,由引理 1 知,可表示为M=(P,Q)(0M1M10)(PQ),C=(P,Q)(0C1C10)(PQ),K=(P,Q)(0K1K10)(PQ).(3)M1,C1,K1 Crs.式(3)中:代入方程(1)可得(0M1M10)(PQ)X2+(0C1C10)(PQ)X+(0K1K10)(PQ)X=0,(0M1M10)(X12X22)+(0C1C10)(X1X2)+(0K1K10)(X1X2)=0,即M1X22+C1X2+K1X2=0,M1X12+C1
12、X1+K1X1=0.(4)vec(M1)=Dvec(M1)由引理 2 可知 .利用 Kronecker 积可得方程组(4)等价于(X22)T I)vec(M1)+(X2)T I)vec(C1)+(XT2 I)vec(K1)=0,(X12)T I)Dvec(M1)+(X1)T I)Dvec(C1)+(XT1 I)Dvec(K1)=0.(5)设Re(X22)T I)=J1,Im(X22)T I)=J2,Re(X2)T I)=N1,Im(X2)T I)=N2,Re(XT2 I)=H1,Im(XT2 I)=H2,Re(X12)T I)D)=L1,Im(X12)T I)D)=L2,Re(X1)T I)D
13、)=S1,Im(X1)T I)D)=S2,Re(XT1 I)D)=T1,Im(XT1 I)D)=T2.记H=|J1J2N1N2H1H2J2J1N2N1H2H1L1L2S1S2T1T2L2L1S2S1T2T1|,v=|Re(vec(M1)Im(vec(M1)Re(vec(C1)Im(vec(C1)Re(vec(K1)Im(vec(K1)|,(6)则方程组(5)等价于第 2 期齐志萍,等:Hermite R-反对称矩阵的二次特征值反问题7Hv=0.(7)H下面对矩阵 进行奇异值分解:H=U(000)V=U1V1.(8)U=(U1,U2)U2mn2mn,U1 C2mnt,V=(V1,V2)U6rs6
14、rs,V1 C6rstt=rank(H),=diag(1,2,t)式(8)中:,.V2=|V12V22.V6r,2|C6rs(6rst),Vi2 Cs(6rst),i=1,2,6r.H+=V(1000)U=V11U1v=V2yy C6rst从而有 .由引理 3 可知,方程组(7)的解 ,其中 为任意列向量.这时M1=(V12y,V22y,Vr2y)+(Vr+1,2y,Vr+2,2y,V2r,2y)i,C1=(V2r+1,2y,V2r+2,2y,V3r,2y)+(V3r+1,2y,V3r+2,2y,V4r,2y)i,K1=(V4r+1,2y,V4r+2,2y,V5r,2y)+(V5r+1,2y,
15、V5r+2,2y,V6r,2y)i.又因(0M10C10K1M10C10K10)W=(000M1C1K1M1C1K1000),其中W=|Ir00000000Is000Ir00000000Is000Ir00000000Is|.因此问题 1 有 Hermite R-反对称解 方程组(4)有解 式(7)有解.并且有如下结论.X=(x1,x2,xm)Cnm,=diag(1,2,m)CmmM,C,K HRnna定理 1给定 ,则问题 1 有 HermiteR-反对称解.其一般解 可以表示为(M,C,K)=(P,Q)(0(M1,C1,K1)(M1,C1,K1)0)W1|(PQ)000(PQ)000(PQ)
16、|,8华东师范大学学报(自然科学版)2023 年其中M1=(V12y,V22y,Vr2y)+(Vr+1,2y,Vr+2,2y,V2r,2y)i,C1=(V2r+1,2y,V2r+2,2y,V3r,2y)+(V3r+1,2y,V3r+2,2y,V4r,2y)i,K1=(V4r+1,2y,V4r+2,2y,V5r,2y)+(V5r+1,2y,V5r+2,2y,V6r,2y)i,y C6rst 为任意列向量.2 问题 2 的解?M,?C,?K Cnn对给定的 ,记(PQ)(?M,?C,?K)|(P,Q)000(P,Q)000(P,Q)|W=(A11A12A21A22),(9)A12 Cr3s,A21 Cs3r其中 .(?M,?C,?K)SMCK(M,C,K)由定理 1 知,问题 1 的解集非空,由最佳逼近定理知 在 中存在唯一的最佳逼近解 .?M,?C,?K Cnn,X Cnm,Cmm定理 2已知 ,则问题 2 存在唯一解,且其解可以表示为(M,C,K)=(P Q)(0(M1,C1,K1)(M1,C1,K1)0)W1|(PQ)000(PQ)000(PQ)|,(10)其中M1=(V12 y,V