1、2023年第1期 导 弹 与 航 天 运 载 技 术（中英文）No.1 2023 总第392期 MISSILES AND SPACE VEHICLES Sum No.392 收稿日期：2018-12-14；修回日期：2022-12-01 文章编号：2097-1974(2023)01-0011-05 DOI：10.7654/j.issn.2097-1974.20230103 基于 Gauss 伪谱法的高空飞行器再入段轨迹 优化对传热效应的影响分析 邵嘉健，薛鹏飞（空间物理重点实验室，北京，100076）摘要：基于Gauss伪谱法和二阶有限差分（Gauss Pseudospectral Metho
2、d，GPM），研究了再入过程中高速飞行器的传热问题，并依据最内温层升温最小的目的进行飞行轨迹的数值优化。主要思路：构造传热分析模型，并依据传热方程构造每一温层的传热微分方程；将各温层微分方程以及动力学微分方程作为伪谱法中的微分方程约束条件代入，进行轨迹数值优化设计；利用少量LG点构造拉格朗日多项式，再通过一维插值获得大量LG点的值，获得更高精度的拟合结果曲线。以某高超声速飞行器为对象用本方法进行数值计算，结果验证了方法具有一定的可行性。关键词：Gauss伪谱法；传热分析模型；轨迹优化设计 中图分类号：V412.4+4 文献标识码：A Influence Analysis of Heat Tra
3、nsfer Effect on Reentry Trajectory Optimization of Adjacent Space Vehicles based on Gauss Pseudospectral Method Shao Jia-jian,Xue Peng-fei(Science and Technology on Space Physics Laboratory,Beijing,100076)Abstract:Based on Gauss Pseudospectral and the second order finite difference method,to study t
4、he heat transfer problem in the process of hypersonic flight vehicle reentry,and according to the purpose of the lowest temperature rise in the innermost layer to perform numerical optimization of flight path.The main train of thought.constructing the heat transfer analysis model andthe heat transfe
5、r differential equation of each temperature layer according to the heat transfer equation.Substituting differential equation of every temperature layer and dynamic differential equation into the constraint conditions of the differential equation in the pseudo-spectral method,for the trajectory numer
6、ical optimization design;constructing lagrangian polynomials with a small number of LG points,and a large number of LG points are obtained through one-dimensional interpolation,to obtain the fitting result curve with higher accuracy.This method is used for numerical calculation of a hypersonic vehic
7、le,and the results verify the feasibility of it.Key words:gauss pseudo-spectral method;heat transfer analysis model;trajectory optimization design 0 引 言 在飞行器气动加热的过程中，会影响乘员舱壳体温度的因素有两个：防隔热层材料及厚度以及飞行器由于气动加热形成的表面热流。而表面热流的形成与飞行器飞行模式密切相关，本文的研究内容便围绕弹道优化设计对飞行器壳体加热的影响展开1,2。为实现本文对高速飞行器再入轨迹快速优化分析的目的，拟利用 Gauss
8、伪谱方法展开研究。Gauss 伪谱方法是一种利用全局插值多项式构建方程的直接配点法，它相对于一般直接配点法的优势在于用较少的节点代入就可以获得较高的精度3。以往利用 Gauss 伪谱法开展的高速飞行器轨迹数值优化的研究中，国防科技大学的雍恩米、唐国金等人在研究高超声速飞行器滑翔式再入的快速轨迹优化问题中，使用驻点热流密度积分，得到再入过程的热载作为优化目标4。但这与本文研究内壁面升温最小的问题仍然不同，为了说明问题，做计算实例如下。保持初始条件一致，分别通过积分计算内壁面温度的上升，保证二者总热流关相同，得到结果如图 1所示。由图 1 可以看出，在相同的总热载下，不同的加热时间，内壁面温度的上
9、升差异很大，因此，总热载并不能有效地反映飞行器结构的温度变化。导 弹 与 航 天 运 载 技 术（中英文）2023年 12 图1 相同总热载下温度上升对比 Fig.1 Temperature Rise Curve Under Same Total Heat Load 结合传热学和轨迹数值优化，通过二阶有限差分的方法，将飞行器壳体上的温度按照物面法向进行离散之后，构建有关于各层温度关于时间的状态方程。并将此方程代入动力学微分方程，即将温度作为状态变量考虑，以此开展 Guass 伪谱法进行飞行轨迹数值优化，并且以末点乘员舱壁温度最低为优化设计目标。1 优化问题的数学模型 1.1 飞行器动力学模型
10、忽略地球自转的影响，临近空间飞行器无动力再入段的动力学方程如下 2e2dsinddcosddsinddcos deey=vtx=vtvD=tm(R+y)Lv=+tmv(R+y)v(R+y)-（1）式中 y为飞行高度；x为飞行距离；v为飞行速度；m为飞行器质量；为速度倾角；x为飞行航程；D为阻力；L为升力；eR为地球半径；为地球引力参数。1.2 传热层的模型 1.2.1 传热方程 为了研究本文的问题，需要建立合适的传热分析模型。已有的分析结果表明，如果不需要准确分析连接件附近区域温度分布，可以不必要建立三维模型。因此采用一维简化热分析模型完全能够满足本文优化的精度要求。由于使用有限插分方法的限制
11、，要求各层的厚度相同。建立一维热分析模型如图 2 所示，由一系列连续的厚度相同、性能参数不同、对传热起不同作用的材料相互串连而成，最后一层是内部冷结构，各层内部及各层不同材料之间存在沿厚度方向的连续导热。在直角坐标系中的无热源一维瞬态导热控制方程为6()=TTcktxx （2）式中，c，k及T分别为各层所使用材料的密度、热传导系数、比热容、及温度。012外边界表面1T2T2N-1N-N2NT-1NT-NT内边界表面1iT-1iT+iT1i-i1i+T0 图2 平板-维有限差分模型 Fig.2 Flat Plate One-Dimensional Finite Difference Model
12、1.2.2 传热微分方程 a）中间层的微分方程。考虑结构的层状特征，假设控制体内T及c关于x阶梯式变化，则对于划分为N层的结构，利用有限差分的方法，可以将导热控制方程利用二阶差分形式离散为 111122()/()-+-+-=+iiiiiiiiiiiTkkTTTTTkctiii （3）式中 iT为i层与i+1 层间位置的温度，内外边界上则为界面上的温度。b）外边界微分方程。1）外边界边界条件。对于外边界，本文采用第 3 类边界条件，热平衡方程为7()4condrWWWTTqT-=+（4）式中 为对流换热系数，rT为气流阻滞温度；WT为壁面温度；为斯忒藩-玻尔兹曼常数；为壁面黑度；condq为外表
13、面向内部的导热量。外壁面的能量平衡方程为()()()400000()trTdTTTTkcxdt-+=（5）气动加热产生的热流如下：()()400trqTTT=-（6）至此，外壁面离散控制方程可以写为 0001 10 000d()/()dTk TkTqct-=+（7）邵嘉健等 基于Gauss伪谱法的高空飞行器再入段轨迹优化对传热效应的影响分析 13第1期 2）边界热流分析。外边界热流为由气动热产生的冷壁热流，取飞行器迎风面某特征位置为参考点，其计算公式为 sqkq=（8）2.8518300()10000sNvqR=（9）式中 为大气密度；k为与飞行攻角有关的常数；NR为表面半径曲率；v为飞行器飞
14、行速度。c）内边界微分方程。对于内边界，一阶离散导热控制方程为 d()()/()dNNNNNxxTTckqtx=+（10）本文采用绝热壁假设，即认为防热0q=，从而内壁控制体能量平衡离散方程可写为 21d()/()dNNNNNNNTkTTct-=-（11）综上，微分方程组如下式所示：2200 01 10 0001111221dsinddcosddsind()dcos d()()d()/()d2()/,1.1()d()/()deeeiiiiiiiiii iNNNNNNNyvtxvtvDtmRyLvtmvRyv RyTk TkTQctTkkTTTTTkc iNtiiiTk TTct-+-=-=-+
15、=+-+-=+-+-=+=-=-（12）2 利用伪谱法转化问题 2.1 Gauss 伪谱法简介 Gauss 伪谱方法通过将状态变量和控制变量在一系列 Legendre-Gauss（LG）点上进行离散，并将这些离散点作为节点，构造 Lagrange 插值多项式，来逼近原状态变量和控制变量8。再通过对插值多项式求导获得微分矩阵，以矩阵来逼近状态变量对时间的导数，这样就将微分方程约束转换为代数方程约束。性能指标中的积分项和终端状态约束都由 Gauss 积分计算即可获得性能指标中的积分项和终端状态约束。经上述变换，可将最优控制问题转化为通过代数约束的一系列参数优化求解问题，称为非线性规划问题（NLP）
16、，之后利用 SQP 算法求解该问题9。2.2 连续优化问题的转化 a）时域变化。使用 legendre 插值多项式需要保证自变量范围为-1,1，因此做时域变换：f0f0f02ttttttt+=-（13）通过上式，时间区间从t0,tf转换到-1,1。b）将时间离散化。将变换后的时域离散，获得N个 LG 点。LG 点的定义为勒让德多项式的根。c）状态与控制变量的全局插值多项式近似。以上一步获得的N个 LG 点以及端点0作为节点，构成 Lagrange 插值多项式，可获得状态变量的近似表达式。0()()()()NiiixXL=x （14）式中 Lagrange 插值基函数由下式计算：0,()Njijj iijL=-=-（15）同理，获得控制变量的近似表达式：1()()()()NiiiuULu=（16）d）微分方程约束转化。由式（14），即有：0()()()()NkikiixXX=?D （17）0,00,()()()NNjj i lkjkiikNljj iijL=-=-?D （18）从而将问题由一开始的微分方程约束转变为如下式所示的代数方程约束:()00f0,;,02NfkiikkkittDf