1、第 卷第期计算机集成制造系统 年月 ：收稿日期：；修订日期：。；基金项目：山东省重大科技创新工程资助项目（）；上海市工业强基专项资助项目（）；泰山学者工程专项经费资助项目。：，（），（），基于 算法的工业机器人分级标定方法薛祥儒，张承瑞，胡天亮，陈齐志，丁信忠（山东大学 机械工程学院，山东济南 ；上海新时达机器人有限公司，上海 ）摘要：为了提高六自由度机器人在应用中的定位精度，提出一种提高机器人绝对定位精度的分级标定方法。该方法第一阶段进行几何参数误差的标定，以改进的 （）模型为基础，加入减速比和耦合比的因素建立了完整的工业机器人几何参数误差模型，之后采用 （）算法辨识出机器人的几何参数误差并
2、计算出剩余残差；第二阶段建立基于粒子群支持向量回归（）算法的剩余误差预测模型，来预测并补偿修正几何参数后剩余的残留误差。最后，以六自由度工业机器人进行试验验证，经过分级标定后机器人末端中心点的平均位置误差由 减少到 ，最大位置误差由 减少到 ，验证了该标定算法的正确性和有效性。关键词：工业机器人；运动学标定；非几何参数辨识；算法；粒子群支持向量回归算法中图分类号：；文献标识码：，（，；，）：，（），（），（），：；计算机集成制造系统第 卷引言随着机器人离线编程技术应用越来越广泛，机器人的绝对定位精度成为评估机器人性能的重要指标之一。标定技术可以通过软件算法提高机器人的定位精度，而无需改变其机械
3、结构或设计，标定技术的经济性和有效性成为了提高机器人定位精度的有效方法。机器人的定位误差主要分为两类：由几何参数因素引起的误差，包括关节角偏差、连杆长度偏差、连杆偏移误差、以及扭角偏差，该类误差大约占总定位误差的；非几何参数因素引起的误差，如关节柔性、连杆柔性、齿轮间隙以及摩擦等。目前大多数研究都集中在基于运动学的几何参数误差的校准。建模、测量、参数辨识和补偿是机器人结构参数标定的个步骤。在建模方面，等提出了模型，但是当相邻两关节的轴线平行或者接近平行时，该模型不满足连续性。为了克服这些 缺 点，等提 出 一 种 修 正 的（，）模型，通过增加一项绕轴旋转的角度，来解决相邻关节平行或接近平行时
4、出现的奇异性问题。针对几何参数误差模型，陈绵鹏等在建立时加入了减速比和耦合比误差，通过算法辨识出误差模型中的误差参数并补偿。陈宵燕等建立了一种包含几何与柔性误差的完整刚柔耦合位置误差模型，并采用改进的算法进行求解。洪鹏等 提出一种利用空间网格来处理几何参数的误差模型，利用改进的迭代最小二乘法求出各网格对应的参数误差。但是，这些方法在求解过程中都没有考虑非几何参数因素对定位精度的影响。针对齿轮间隙、摩擦、热效应等非几何误差因素问题，田威等 通过建立关节回差和减速比的误差模型，提出一种考虑关节回差的工业机器人误差相似度精度补偿方法。焦嘉琛等 提出一种分级补偿策略，通过耦合重力参数的运动学误差模型和
5、空间网格的机器人刚度辨识方法来进行分级补偿。但是，以上方法对于非几何参数误差的考虑并不全面。因此，神经网络算法以及一些混合算法也被 应用到 非几何 参 数 误 差 辨 识 补 偿 中来。花芳芳等 基于深度神经网络建立机器人误差模型，进 而 实 现 对 误 差 的 预 测 和 补 偿；等 采用基于甲虫群优化算法的多层感知器神经网 络（，）补 偿 非 几 何 参 数 引 起 的 残 留 误 差；等 使用人工神经网络（，）来补偿由非几何误差源引起的机器人位置误差；等 提出一种采用 神经网络（，）和粒子群优化（，）算法的新型混合算法，该算法运行过程中具有较少的迭代次数和更快的收敛速度。但是，神经网络算
6、法在应用到小样本的数据建模及预测中容易出现过拟合的现象。相对于神经网络算法，支持向量回归 机（，）是基于统计理论的监督学习分类方法，具有坚实的理论基础，并且在小样本回归预测应用中能展现出较好的泛化能力 。针对现有机器人标定过程中参数辨识以及误差补偿方法的不足，本文提出一种分级标定方法。首先，建立基于机器人模型和减速比、耦合比的运动学误差模型，采用 算法辨识机器人的几何参数误差以及减速比、耦合比误差并计算得到残余误差。之后，将几何参数补偿后的残余误差输入到基于 算法建立的误差预测模型中，实现对非几何参数误差的预测和补偿。最后，通过激光跟踪仪和六自由度工业机器人来进行标定实验并验证提出方法的有效性
7、。机器人运动学模型以六自由度工业机器人为研究对象，对机器人进行运动学标定，建立机器人运动学模型和误差模型。机器人 运动学建模机器人的运动学模型是运动学参数标定的基础，由于 六自由度工业机器人关节和关节平行，运用 法建模存在缺陷，因此根据 等提出的 模型，建立机器人的坐标系，如图所示。根据建立的坐标系，机器人的参数表如表所示。表中：连杆长度是沿轴，将移动到的距离；连杆扭转角是沿轴，将旋转到的距离；连杆偏置是沿轴，将移动到的距离；关节 角是沿轴，将旋转到的距离；表示相邻两轴绕轴的旋转角度。第期薛祥儒 等：基于 算法的工业机器人分级标定方法表 六自由度工业机器人 参数表关节 长度扭角（）偏置关节角（
8、）根据空间坐标转换原理，相邻两个坐标系和的坐标转换方程可以用齐次变换矩阵的乘积形式来描述：（，）（，）（，）（，）（，）。（）式中：为坐标转换关系式；为旋转变换矩阵；为平移变换矩阵。展开即可得到相邻坐标变换方程的通用公式：。（）其中：，式 中 其 余 情 况 以 此类推。对于自由度的关节机器人，机器人运动学模型为：。（）减速比及耦合比建模减速比误差和耦合比误差会造成机器人实际转动角度和名义关节角度之间出现偏差，这些误差由制造装配以及机器人传动结构引起，对机器人末端位置精度具有很大的影响。因此，在建立的 模型基础上加入减速比因子，表示机器人关节实际转动角度 和机器人指令关节角度的比值，存在以下关
9、系：。（）当两者没有误差时，。由于机器人特殊的结构设计，出现跨关节的驱动布局，轴的驱动路径超出轴之间，就会出现耦合现象。对 六自由度工业机器人来说，、轴的电机并非固定到、轴结构件，而是安装在轴结构件上，然后再通过传动计算机集成制造系统第 卷机构传到、轴，这就导致机器人、轴之间存在耦合关系。当机器人轴转动时，会造成、轴转动一定比例的角度，同时轴转动时，也会导致轴转动一定的角度，在标定过程中需要对该角度进行补偿。对于存在耦合的部分，同时考虑减速比的影响，机器人第、轴的指令角度和实际角度之间的关系为：；（）。（）式中 表示第轴和第轴之间的耦合比。几何参数误差建模机器人末端位置误差可以用激光跟踪仪测得
10、的机器人实际末端位置与根据机器人模型求得的名义位置之间的差值来表示，即。（）其中（，）。考虑到，以及这些几何参数误差足够小，可以利用微分运动学模型来近似代替误差方程，即对运动学方程进行全微分处理，机器人末端的位置误差可以近似表示为：。（）在测量过程中，激光跟踪仪靶球的中心位置并不与机器人第轴坐标系的原点位置重合，可以将靶球中心位置看作工具坐标系中心位置，即靶球的中心位置为机器人运动学方程右乘一个平移变换矩阵，即。（）其中表示靶球中心坐标系相对机器人第关节坐标系的平移变换。将式（）写成矩阵形式即为：。（）其中是一个 型矩阵，称为误差系数矩阵，即（，）；，。是一个由需要辨识的几何参数误差组成的 的
11、矢量，即（，）。几何参数误差辨识在式（）中，和都是可以通过测量和计算得出的已知量，因此 个几何参数误差 求解问题就变成了求解矛盾方程组的问题。当方程组的数目大于几何参数的数目时，就可以用相应的辨识算法来求出各个参数的误差值。每一个测量点可以列出个方程，则求解 个参数最少需要测量 个标定点，为了保证辨识算法的准确度，通常测量点的数量远大于最低需求点的数量。在通常情况下是奇异方阵或者是长方阵，求解第期薛祥儒 等：基于 算法的工业机器人分级标定方法时需要用到广义逆矩阵。矩阵的 广义逆矩阵是，求得该线性方程组的解为：（）。（）最小二乘法由于计算简单、理论成熟，在系统参数辨识方面被广泛应用，它是一种通过
12、寻找实际数据和理论数据之间误差平方和并使其最小化的求解方法。在求解系统参数的过程中，需要用到广义逆矩阵，而且采用最小二乘法来辨识机器人几何参数误差的过程中可能存在病态矩阵，导致出现部分参数无法正确辨识或辨识结果误差过大的问题。徐彬 通过遗传算法来进行系统参数的辨识，能够同时计算搜索空间中多个个体值从而降低进入局部最优风险。但是，遗传算法在使用过程中存在算法复杂，求解结果不稳定的问题。算法通过对最小二乘法的改善来求解系统参数辨识的问题，采用近似的二阶导数计算方法。该算法可动态调整迭代的收敛方法，具有梯度下降法的全局特性和 法的局部收敛性。其通式为：（）。（）式中：为阻尼系数，；为单位矩阵。迭代过
13、程中，算法通过调整值的大小来控制计算精度，使几何参数误差不断接近准确值。当较大时，算法接近梯度下降法，发挥全局特性，保证全局收敛；当较小时，算法接近 法，发挥局部收敛。具体的参数辨识流程图如图所示。基于 的非几何参数误差模型建立及补偿几何参数误差辨识并补偿后，机器人还存在较大的位置残余误差，该残余误差是由非几何参数误差引起，其误差模型构建存在难度。文中采用 混合算法来解决这个问题，通过 算法建立模型来预测机器人末端的非几何参数误差，同时采用 算法来优化 算法的参数取值，提高 算法建立的预测模型的准确度。拟合样本数据集，（，；），得到的回归函数为：（）（）（?）（，）。（）式中：?、为拉格朗日算
14、子；为阈值；（，）为核函数，根据许多研究和经验表明，径向基核函数具有更好的效果，则（，）（）。（）在 算法训练模型过程中，惩罚因子、核函数系数和不敏感损失系数是影响 模型寻优能力的主要因素。惩罚系数主要影响模型的复杂性和稳定性。不敏感损失系数主要控制回归函数对样本数据的不敏感区域的宽度，过大，容易导致学习精度不够；过小，容易导致模型过于复杂，甚至出现过拟合现象。核函数系数主要影响支持向量之间的相关程度。经验法和试凑法是目前应用于这个参数选取最多的方式，为方便可靠地找到最优参数组合（，），本文选用 算法进行参数寻优操作。算法基本原理为，假设维空间中，种群由个粒子组成，第个粒子在空间中的位置为（，
15、），速度为（，）。种群中个体最优粒子为（，），全局最优粒子为（，）。粒子的搜索过程会受到个体最优粒子和全局最优粒子的共同影响，用以下公式对粒子进行操作：（）（）（）（）；（）（）（）（）。（）式中：，；，；和为（，）间的随机数；和为加速因子，取值范围大于计算机集成制造系统第 卷等于，主要作用为表征个体最优粒子以及全局最优粒子对当前粒子的影响；为惯性权重因子，表示上一次迭代搜索速度对下一次迭代搜索速度的影响程度，较大的有利于避免出现局部最优情况，较小的有 利于 提 高粒 子的 区 域 搜 索 精 度。为加快收敛速度，文中对值的选取采用自适应的方法，（）（）。（）式中：，为最大和最小惯性权重因子，
16、取值为 和 ；为粒子群算法当前迭代次数；为粒子群算法总的迭代次数。基于 算法对 算法中参数（，）进行优化，构建了 的混合优化算法，该算法的寻优步骤如下：步骤归一化处理要进行 模型训练的数据，并将数据分为训练集和检验集两部分。步骤确定粒子群算法参数。种群规模，最大进化代数 ，最大、最小权重因子 、，以及学习因子，。步骤随机初始化粒子群算法的初始种群。步骤计算当前粒子群各粒子的适应度。建立 模型，输入训练参数（，），使用检验集数据检验训练的模型，并生成检验集的均方误差（），根据 计算出适应度值。步骤根据各个粒子适应度值的大小，更新个体最优粒子和全局最优粒子。步骤根据式（）和式（）进行迭代计算，更新粒子的位置、速度。步骤判断是否到达最大迭代次数，或者是否满足收敛条件，若达到最大迭代次数或者满足收敛条件则停止迭代，否则返回步骤。优化 算法参数流程如图所示。对于非几何参数误差补偿，将机器人关节角度输入到 预测模型中，该预测模型会输出机器人末端的定位误差。通过使用雅可比矩阵，将机器人末端的位置误差映射成关节角度误差，进而和逆解得到的关节角度进行求和，得到目标关节角度。补偿过程如图所示。机器人标定实