1、2023 年2 月 电 工 技 术 学 报 Vol.38 No.3 第 38 卷第 3 期 TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY Feb.2023 DOI:10.19595/ki.1000-6753.tces.210769 基于保角变换与等效磁路法的永磁直驱发电机气隙磁场计算 张志弘1 韩勤锴2 徐学平3 颜益峰1 彭 超1（1.新疆金风科技股份有限公司 乌鲁木齐 830026 2.清华大学机械工程系 北京 100084 3.北京航空航天大学前沿科学技术创新研究院 北京 100191）摘要 该文开展了负载工况下永磁直驱发电机气隙磁场研究。
2、基于精确域求解和保角变换，计算考虑齿槽效应的气隙磁场标量磁势；采用离散线电流元，定量模拟发电机定转子局部出现的磁饱和现象；基于考虑几何尺寸的定转子非线性磁阻计算方法，建立包含发电机定转子结构以及气隙长度的等效磁路，给出相应的迭代求解流程。以实际在役兆瓦级永磁直驱风力发电机为对象，计算考虑齿槽效应的气隙磁场分布，分析了空载和负载工况下磁饱和效应对气隙磁场分布曲线波形和谐波成分的影响，并与有限元计算结果对比，验证了所提出的分析模型和求解方法的有效性。关键词：永磁直驱发电机 气隙磁场 等效磁路 负载工况 磁饱和 齿槽效应 非线性磁阻 中图分类号：TM351 0 引言 由于低速性能好、发电效率高、维护
3、成本低、运行可靠等突出优点，兆瓦级永磁直驱风力发电机是大型陆上及海上风力发电的理想选择1-3。在永磁直驱风力发电机性能分析与优化设计中，准确高效地获得气隙磁场分布是重要前提。尽管有限元法普适性强、计算精度高，但建模和计算时间较长4；而计算量小、速度快且物理概念清晰的解析法仍然受到学者的广泛关注。由于定子开槽导致气隙磁通密度发生畸变，谐波成分增加，所以基于解析法准确计算气隙磁通密度变得困难。通过经验系数的修正，采用传统磁路法可获得考虑齿槽效应的气隙磁通密度最大值5。因定子槽形、定转子轭部尺寸和形状等参数的影响，修正系数难以准确得到，致使考虑齿槽效应的传统磁路法计算精度不高6。子域法7-9将电机域
4、划分为气隙、永磁体和齿槽三个子域，通过交界条件建立各个子域的拉普拉斯方程或泊松方程的联系，进而采用解析法求解。基于保角变换，将齿槽等不规则域变换为规则求解域，利用子域法的解析结果可获得气隙磁场 分布10-11。与传统磁路法相比，基于保角变换的解析法计算精度较高。但上述方法均难以考虑因铁磁材料非线性引起的磁饱和效应，因而具有局限性6。磁饱和导致定子齿端部的相对磁导率降低。F.R.Alam 和 K.Abbaszadeh12-13提出一种改进的保角变换，通过增加定子齿槽开口宽度模拟磁饱和效应。因经验饱和因子的引入，使得该方法的精度不易保证。基于磁路基尔霍夫定律的等效磁路法14，是一种用于电机定量分析
5、的方法，可考虑磁饱和效应。但是与有限元法相比，其网格划分较粗略，虽然计算效率较高，但精度较差。经过 S.D.Sudhoff 等15的不断改进，等效磁路法的计算精度已有很大提升，且可计及电机精细几何尺寸、三维空间磁场等复杂因素的影响。目前，等效磁路法已广泛用于多种形式的永磁电机稳态和瞬态磁场分析中，取得很好的效果。很多学者结合保角变换和等效磁路法，研究了考虑饱和与否对表面永磁电机气隙磁场分布的影响6,16-21。但这些研究主要针对空载工况，针对负载工况的研究则较少22。与空载相比，负载工况下的气隙磁场变化更为明显，谐波成分更为复杂，磁饱和效应更为显著。因此，本文开展负载工况下永磁直驱发电机气隙磁
6、场研究。基于精确域求解和保角变换，计算考虑齿槽效应的气隙磁场标量磁势；采用离散线电流元，定量模拟发电机定转子局部出现的磁饱和现象；国家自然科学基金资助项目（11872222）。收稿日期 2021-05-27 改稿日期 2021-10-22 704 电 工 技 术 学 报 2023 年 2 月 基于考虑几何尺寸的定转子非线性磁阻计算方法，建立包含发电机定转子结构以及气隙长度的等效磁路，给出相应的迭代求解框架。以实际在役兆瓦级永磁直驱风力发电机为对象，计算考虑齿槽效应的气隙磁场分布，并与有限元计算结果对比，验证所提出的分析模型和求解方法。在此基础上，分析了空载和负载工况下磁饱和效应对气隙磁场分布曲
7、线波形和谐波成分的影响。1 气隙磁场计算模型 1.1 保角变换 典型兆瓦级永磁直驱风力发电机结构如图 1 所示，为外转子结构。径向磁化的永磁体，粘贴于转子内径。磁极对数为 p，齿槽数为 Qs。2 倍磁极对数与齿槽数的最大公约数为 Ng=gcd(2p,Qs)。考虑结构周期性并忽略局部细节尺寸（如定/转子磁轭的散热结构），建立永磁发电机对称分析模型，如图 2 所 图 1 兆瓦级永磁直驱风力发电机结构 Fig.1 Structure diagram of megawatt permanent magnet direct drive generator 图 2 永磁发电机气隙磁场分析 Fig.2 Ai
8、r gap magnetic field analysis of permanent magnet generator 示。其中所考虑的永磁体个数为 2p/Ng，齿槽数为Qs/Ng。暂不计入永磁体和负载绕组对标量磁势的影响。为了提高计算效率，仅分析定子齿邻近半个齿槽与气隙的简化结构，如图 2b 所示。其余气隙和齿槽区域的解，通过“镜像对称”的方式获得。对于图 2b 所示的气隙结构，在物理坐标系（O-x-y）下，需要 6 个顶点来定义。各个顶点的坐标(xi,yi)为 11pm22tfw33tfw44odidswtfw55odidswtfw66pm00002222xyhgxysxysxyssssx
9、yssssxyhg=+=+=+=+，（1）式中，sod、sid分别为定子外径和内径；stfw、ssw分别为定子齿宽度和齿槽宽度；hpm为永磁体厚度；g 为气隙长度，如图 2a 所示。基于保角变换，可将原物理平面上复杂几何域映射成像平面上的单位矩形平面、半无限平面等。多数情况下，难以获得保角变换的解析解，需借助数 值 方 法。本 文 利 用Matlab 中 的SchwarzChristoffel 保角变换工具包11，将包含齿槽的气隙区域变换为规则的矩形区域，如图 2c 所示。矩形的上下两边（1-4 和 2-3）分别为转子和定子铁心（磁导率可近似为无穷大），而 1-2 和 3-4 则为气隙边界。若
10、该矩形区域存在一个离散电流元 I，坐标为(xv,yv)。任意一点(x,y)的标量磁势可表示为()()0vvvv,14dln cosh cos dddln cosh cos 2 ddkkIA x yxxk xyyyyxxk xyyyy+=+（）式中，0为真空磁导率；dx、dy 分别为保角变换后矩形区域的长度、宽度值。若存在多个离散电流元，可分别利用式（2）计算后线性叠加即可得到总的标量磁势。1.2 离散线电流元 对于径向磁化的永磁体，其磁场可通过磁体两 第 38 卷第 3 期 张志弘等 基于保角变换与等效磁路法的永磁直驱发电机气隙磁场计算 705 侧的电流片模拟。电流片可用 Nmms个线电流元离
11、散。在这种情况下，单个电流元的幅值为 pmcpmmmsmmsmmsH hINN=（3）式中，pm为永磁体的磁动势；Hc为永磁体的矫顽力。将所分析的永磁体分别采用离散电流元进行等效，离散线电流元模拟永磁体、绕组以及定转子饱和效应如图 3 所示。类似地，采用离散线电流元模拟负载绕组的作用，表示为 Iwi（i=1,2,Qs/Ng）。图 3 离散线电流元模拟永磁体、绕组以及 定转子饱和效应 Fig.3 Simulation of permanent magnet,winding and saturation effects in stator and rotor by discrete line cu
12、rrent element 为了计入定子齿端部、定子铁心和转子铁心的非线性饱和效应，并考虑永磁体磁导率大于 1 的问题，采用虚拟离散线电流元，并通过迭代求解等效磁路模型的方式得到准确的气隙磁场分布。如图 3所示，在定子齿、定子铁心以及转子铁心处的增加虚拟线电流，分别表示为 Iti、Isyi（i=1,2,Qs/Ng）和 Iryi（i=1,2,2p/Ng）。为避免数值计算奇异问题，通常将这些线电流的位置设定在接近图 2b 所示区域的边界（如 0.1mm 处）。基于保角变换，可将这些线电流以及永磁体线电流的位置转换至规则的矩形区域内，进而根据式（2），得到气隙磁势 Ai（i=1,2,Qs/Ng），永
13、磁体磁势 Apmi（i=1,2,2p/Ng+1）及转子磁势 Aryi（i=1,2,2p/Ng），如图3 所示。1.3 等效磁路 建立如图 4 所示的永磁直驱发电机等效磁路模型。Ti、syi、ryj（i=1,2,Qs/Ng，j=1,2,2p/Ng）分别表示定子齿、定子磁轭和转子磁轭的磁通量源。以定子铁心以及转子铁心内部的磁势为参考点，即图 3 中 As0=0Vs/m 和 Ari=0Vs/m 处，依据保角变换得到的标量磁势，可计算上述磁通量源为 图 4 永磁直驱发电机等效磁路模型 Fig.4 Magnetic equivalent circuit model of permanent magnet
14、 direct drive generator ()s T1feg2,3,iiiQAAliN=（4）ssyfeg 1,2,3,iiQAliN=（5）ryry feg 21,2,iipA liN=（6）式中，lfe为电机轴向长度。对于第 1 个定子齿，注意到边界条件为第 Qs/Ng+1 个齿的右半部分的磁势大小相等，但与第 1 个齿的左半部分的磁势符号相反，则有 ()sgT11feQNAAl=+（7）用于模拟磁阻非线性的线电流与穿过铁心磁阻的磁动势相同，可从等效磁路模型中获得。在已知磁通量的前提下，定子齿线电流可以计算为 TTTTiiiiI R=（8）式中，RTi为定子齿的非线性磁阻，如图 4
15、所示。根据磁阻的定义，本研究所关注的定子磁阻可表示为 1TTfegaviiRkS=（9）其中 ()211 2gfe1 22 12 1lnrr rklr r r=（10）1 12 2avfe2 r rSl+=（11）式中，fe为定子铁心磁导率，与磁感应强度 Ti/Sav有关；几何参数1212rr、如图 5 中所示。706 电 工 技 术 学 报 2023 年 2 月 图 5 定子齿磁阻计算尺寸 Fig.5 Calculation of stator tooth reluctance 定子铁心的线电流可表示为 sysysysyiiiiI R=（12）其中非线性定子轭部磁阻为 1syodsysyfe
16、ssy fesy fe2iishRh lh l=（13）式中，hsy和s分别为定子轭部高度和齿槽节圆跨度。显然，定子轭部磁阻与磁感应强度也是非线性关系。类似地，转子轭部的线电流为 ryryryryiiiiI R=（14）式中，Rryi为转子轭部的非线性磁阻，其表达式为 1ryidryryfepry fery fe4iirhRh lh l+=（15）式中，hry和p分别为转子轭部高度和节圆跨度。在保角变换中，将原本永磁体的位置也采用空气模拟。因永磁体磁导率大于1，这样处理将带来一定的误差。需将永磁体的磁动势进行迭代修正，即乘以Rpmi（i=1,2,2p/Ng）。由此，使得线电流增加Ipmi，其表达式为 o,pmpmpmpmpmpm0pm fei,pm111lniiiiRIRlR=（16）式中，pm为弧形永磁体的跨度；Ro,pm、Ri,pm分别为永磁铁的内径和外径；pmi为流经永磁体的磁通量，有 ()pmpm1pmfeiiiAAl+=（17）因此，在新的迭代计算步中，需将永磁体模拟线电流更新为 cpmpmmmmsiiH hIIN+=（18）1.4 求解流程 基于保角变换与等效磁路法的永磁直