1、第 36 卷第 1 期大学物理实验Vol36 No12023 年 2 月PHYSICAL EXPEIMENT OF COLLEGEFeb2023收稿日期:2022-09-05基金项目:湖北省教育科学规划课题(2020ZB35)*通讯联系人文章编号:1007-2934(2023)01-0023-06基于滴定法探究溶液浓度与折射率的关系向倩，丁益民*，李政，杨翔宇(湖北大学 物理与电子科学学院，湖北 武汉430062)摘要:文章以酒精溶液、NaCl 溶液和蔗糖溶液为研究对象，迈克尔逊干涉仪为载体，采用滴定法研究了以上溶液在 20 环境下的折射率与其浓度之间的关系。通过拟合浓度与折射率之间的变量关系
2、，运用积分运算得到折射率 n 随浓度 c 变化的函数关系 n(c)，进而给出溶液在任意浓度的折射率。该实验既可作为大学物理设计性实验或拓展实验，培养学生的动手能力和创新能力，也可运用于测量溶液在不同浓度下的折射率，具有较好的应用前景。关键词:迈克尔逊干涉仪;滴定法;折射率;浓度中图分类号:O 43文献标志码:ADOI:1014139/jcnkicn22-1228202301006大学物理实验 投稿网址:http:/dawushiyanjlicteducn折射率是物质的一个重要物理参数，是食品、化工生产等领域的重要工艺控制指标，折射率与溶质的组分、浓度、纯度及品质常常有着直接联系，探究溶液的浓度
3、和折射率之间的关系有重要意义。常用的测量液体折射率的方法有 F-P 干涉法、光栅法、激光照射法和衍射玻璃毛细管法等1-6。但常规方法难以捕捉溶液浓度因溶质含量改变或溶剂的蒸发等原因导致折射率的细微变化，溶质浓度改变引起折射率变化的测量方法也鲜有报道。为了测量折射率在浓度轻微改变下的变化规律，文章通过滴定法改变溶液的浓度，从而改变光束在介质中的光程，利用迈克尔逊干涉仪测量介质折射率的细微变化，根据折射率和光程的关系计算出液体在给定浓度下的折射率，从而进一步探究浓度与折射率之间的关系。此方法可用于开展大学物理设计性实验和拓展实验，培养学生独立开展实验的探究性思维，也可运用于测量溶液在不同浓度下的折
4、射率，具有较好的应用前景。1测量原理11利用迈克尔逊干涉仪测定溶液折射率的原理利用迈克尔逊干涉仪的光路图如图 1 所示，G1和 G2是一对相同材质、等厚的光滑平行玻璃板，与入射光方向呈 45角放置，其中 G1为半透半反板，对入射光起分束作用，G2对光程起补偿作用，为补偿板;M1和 M2均为平面反射镜，M1与入射光垂直，M2与 M1镜面相互垂直;P 为石英材质的矩形透明比色皿，里面盛放待测液体。比色皿通光方向的光程为 10 mm，容积约为 25 mL。图 1利用迈克尔逊干涉仪测定溶液折射率的光路文章采用波长为 6328 nm 的 He-Ne 激光作为光源，从光源发出的激光通过 G1后被分成两束强
5、度相同、方向互相垂直的两束光(1)和(2)，透射光(2)穿过 G2、被 M1反射再次穿过 G2后，被半反板反射到观测屏。反射光(1)穿过容器 P 后经 M2反射再次穿过 P、G1并到达观测屏，由于这两束光满足相干条件，在空间相遇将发生等倾干涉，若 P 内溶液均匀，则在观测屏上可看到一圈圈明暗相间的同心干涉圆环。在一定温度下，如果改变容器 P 中溶液的浓度，则折射率也将改变，折射率的变化会使迈克尔逊干涉仪的等倾同心圆环条纹发生移动。当折射率变大时，光程增加，干涉条纹从中心向外一一涌出;当折射率变小时，光程减少，条纹内陷，从中心一一消失。因此，通过测量条纹的改变量，并判断它的移动方向，即可获得溶液
6、浓度、折射率等参量变化情况。比色皿 P 的厚度为内部光程为 d，通过滴定的方式，改变其中溶液的浓度，其折射率变化，将会改变光路的光程，从而可观察到干涉条纹的改变。当溶液浓度为 n1时，(1)路光的光程为 2l12d+2n1d，(2)路光的光程为 2l2，光程差为 2l12d+2n1d2l2;当溶液的浓度为 n2时，(1)路光的光程为 2l12d+2n2d，(2)路光的光程不变，光程差为 2l12d+2n2d2l2，则因溶液折射率发生变化时，光程差改变量为:(2l12d+2n1d2l2)由迈克尔逊干涉仪的干涉条件2nd=k当容器 P 中液体的浓度发生变化时，其折射率也发生变化，从而引起干涉仪的条
7、纹变化。由干涉条件，其变化关系为 2nd=k，即 n=k2d(1)当容器内液体的折射率改变量为 n 时，干涉条纹数量相应的改变 k，通过对 k 以及滴入的液滴数量 v 进行计数，可知液体的折射率变化量 n 与溶液浓度 c 的改变量 c 之间的函数关系。对该函数关系进行积分运算，可得到折射率 n 与浓度 c 之间的关系。12公式与理论模型121液滴大小与折射率的变化液体折射率与浓度的关系满足对数混合法则:lgn=V1lgn1+V2lgn2V1+V2(2)即 n=n1V1V1+V2n2V2V1+V2(3)上式中 V1、V2分别为混合前溶质(液滴)和溶剂(容器 P 中的液体)的体积;n1、n2分别为
8、溶质和溶剂的折射率;n 为混合液的折射率(即 n2+n)。在已知溶质和溶剂体积 V1、V2的前提下，根据(2)式可以求得当滴入溶质的体积为 V 时，相应的混合液折射率的变化量 n 为n=V2(V1+V2)2lnn1n2 n1V1n2V2()1V1+V2V1(4)相应地，滴入液滴的体积 V 与折射率变化n 间的关系为V1=(V1+V2)2V2lnn1n2 n1V1n2V2()1V1+V2n(5)由此式可知 n 与 V 并非线性关系，即在滴定过程中溶液的折射率逐渐改变，同样大小的液滴对折射率 n 的改变量 n 逐渐改变。不同浓度下将(1)式代入(5)式，可得V1=(V1+V2)2V2lnn1n2
9、n1V1n2V2()1V1+V2k2d(6)取 n1=1366 2(75%乙醇溶液)，n2=1333 0(水)，V1=004 mL，V2=200 mL，可得出干涉条纹每改变1 个，相应的溶质体积变化量 V1=00194 mL。因此，在向容器 P 内滴入酒精溶液，为了能见到完整的条纹变化过程，滴入液滴的体积不大于0019 4 mL。通常用滴管滴定的液滴体积为 004005 mL，为此，采用较细的注射器针尖进行滴定。经过反复滴定测试，发现利用直径为 08 mm 的注射器针尖滴满 1 mL 时候，需要 8082 滴，因此每个液滴的体积平均为 0012 3 mL，如需要更小的液滴，可以采用更细的注射器
10、针尖。122浓度与干涉条纹的变化关系设 V1、V2分别为混合前溶质(75%乙醇溶液)和溶剂(水)的体积，n1、n2分别为溶质和溶剂的折射率，n 为混若混合后液体的折射率，溶质和溶剂的密度分别为 1、2，则溶液的浓度c=1V11V1+2V2(7)对(7)式求微分c=12V2(1V1+2V2)2V1(8)将(6)式代入(8)式，可得c=12(V1+V2)2n1V1V1+V2n2V2V1+V2lnn1n2(1V1+2V2)22dk(9)42大学物理实验2023 年由上式可知，只要测得条纹干涉级次的变化量 k，就可以获得浓度的变化量 c。现将 V1=0019 3 mL，V2=200 mL，1=0855
11、 6，2=1000 以及条纹改变 1 时的 V1=0019 3 mL 由(5)或(6)式算 分别代入(9)式得c=82572104k(10)表明干涉条纹每变化 1 次，液体浓度变化0083%。下面按实际滴入的酒精量来计算浓度 c的变化量 c。测量中采用的溶质为 75%乙醇溶液，200 下折射率为 1366 2。溶剂为纯净水，200 下折射率为 1333 0。测量时，使用注射器将 1 滴乙醇溶液滴入比色皿内，每滴乙醇的体积约为 0012 3 mL。待溶质扩散与溶剂混合均匀后，再滴入 1 滴乙醇，在大约 10 min 内，记录到图2 所示的干涉条纹变化图样(即 1 个条纹变化周期)。若液体初始浓度
12、为 c0，则现在浓度为 c=c0+c。从图 2(a)到 2(h)的变化周期中，总计加入了1 滴乙醇，总体积为 V=0012 3 mL，V2=200 mL，n1=1366 2(75%酒精，20)，n0=1333 0(纯净水)，代入浓度计算公式(7)，可得到加入 1 滴75%酒精后混合溶液的浓度为 c0=5259104，再加入一滴酒精后浓度变为 c=1051103，可得 c=5254104，与理论计算所得的 c 相差 2763 0107，相对误差为 0053%。若折算成每变化一个条纹(k=1)的浓度改变量，可得 c=8236 1104，与(9)式理论计算所得的 c 相差 2107 2106，相对误
13、差为 026%，经过多次重复实验，测量结果较为稳定。图 2条纹变化 1 个周期内干涉图样2实验分析与数据处理为了将上述关系用于对溶液折射率的测算，下面以酒精、NaCl 溶液和蔗糖溶液为例分别进行实验滴定和数据采集。21乙醇溶液折射率与浓度的关系为了测试酒精在不同浓度下折射率的变化，在 20 的室温环境下，配制了几种不同浓度的酒精溶液，用 75%酒精(密度 0855 6，折射率 1366 2)和蒸馏水(密度 0998 2，折射率 1333 0)，使用精度为 0001 g 的电子天平，配制质量百分比浓度分别为 10 0%，20 0%，30 0%，40 0%，50 0%，600%，700%等七种酒精
14、溶液。将盛有 200 mL的待测液体的方形比色皿放置于反射镜 M2前，打开氦氖激光器(波长 6328 nm)，使容器的透光壁与激光光路垂直，透射光线穿过溶液从比色皿的侧面射出。利用注射器(液滴大小为 0012 3 mL)吸入 75%酒精对溶液进行滴定，观测条纹变化并进行计数，经过多次滴定，对其折射率、浓度进行计算，计算出各参量随液滴变化的数量关系，详细数据见表 1 中。由表 1 可看出，随着溶液浓度的增加，每改变一个条纹数，需要滴定的液滴数量也越多(k 越小)，这是因为随着随着浓度增加，溶液折射率与液滴折射率之间的差距越来越小，而折射率变化与条纹数变化为线性关系，因此，变化同样多的折射率，需要
15、更多的液滴数。这种特点也反应在每滴液滴对折射率的变化(n)越来也小这种趋势上。每滴一滴的折射率变量与浓度变量的比值经52第 1 期向倩，等:基于滴定法探究溶液浓度与折射率的关系拟合得到下列函数关系:dndc=00078c200568c+00621(10)对上式进行积分，可得到酒精在 20 下其折射率随浓度的函数关系:n(c)=00026c300284c2+00621c+1333 0(11)上式中的函数图像如图 3 所示。由此函数，可以给出酒精溶液在任何浓度下的折射率。将溶液浓度 c 值代入到该方程中，即可得到溶液在该浓度下的折射率(见表 1 的各 n测值)，不同浓度的折射率 n 值与文献报道值
16、吻合良好7，8。在实验中还发现，采用更小的液滴，可以给出更高的拟合精度。这是因为，从数学上讲，n、c 都是无穷小，因此，采用液滴更小的体积 v 能使结果更接近理想值。表 1不同浓度的酒精溶液物理参量随滴入 1 液滴的变化量(20)浓度(c)/%010203040506070%(g/cm3)0998 20981 80968 60953 70935 10913 80891 20867 5ka06340544046203800296021201270043n(105)b20141732146712070094067304040135c(104)c52665354542755115621575258976058n/c(102)38253236270421911673117006860223n测1333 01338 91344 31349 11353 51357 31360 61363 4a 为此处的 k 表示折算成每滴一滴后的条纹变化级次;b 为每滴一滴后溶液折射率的变化量;c 为每滴一滴后溶液浓度的变化量。后续表中标识含义与此处相同。图 3酒精溶液折射率随浓度变化的函数22NaCl 溶液折射