1、第 1 期2023 年1 月电子学报ACTA ELECTRONICA SINICAVol.51 No.1Jan.2023基于二次乘法特征的射影线性码陈辅灵1，2，衡子灵1，王鑫然1，李成举3，2（1.长安大学理学院，陕西西安 710064；2.东南大学移动通信国家重点实验室，江苏南京 210096；3.华东师范大学高可信计算重点实验室，上海 200062）摘要：基于有限域上的二次乘法特征构造了两类线性码，精确计算出了它们的参数和重量分布.结果表明，第一类线性码是射影三重码，且对偶码关于球填充界几乎最优；第二类线性码是射影二重码，且对偶码关于球填充界几乎最优.此外，本文还得到了一些自正交码和极小
2、码，它们可分别用于构造量子码和安全高效访问结构上的密钥共享方案.关键词：射影码；增信码；自正交码；极小码基金项目：国家自然科学基金（No.11901049，No.12071138）；陕西省高校科协青年人才托举计划（No.20200505）；东南大学移动通信国家重点实验室开放研究基金（No.2022D05）；长安大学中央高校基本科研业务费专项资金（No.300102122202）；上海市可信工业互联网软件协同创新中心项目中图分类号：O236.2文献标识码：A文章编号：0372-2112(2023)01-0032-10电子学报URL:http:/DOI:10.12263/DZXB.20211633
3、Projective Linear Codes Based on the QuadraticMultiplicative CharactersCHEN Fu-ling1,2,HENG Zi-ling1,WANG Xin-ran1,LI Cheng-ju3,2(1.School of Science,Changan University,Xian,Shaanxi 710064,China;2.State Key Laboratory of Mobile Communication,Southeast University,Nanjing,Jiangsu 210096,China;3.Key La
4、boratory of Highly Trusted Computing,East China Normal University,Shanghai 200062,China)Abstract:Two families of linear codes are constructed based on the quadratic multiplicative characters of finite fields.The parameters and weight distributions of the codes are explicitly determined.It turns out
5、that the first family of linear codes are projective three-weight ones whose duals are almost optimal according to the sphere-packing bound.The second family of linear codes are projective two-weight ones whose duals are also almost optimal according to the sphere-packing bound.Besides,some self-ort
6、hogonal codes and minimal codes are obtained.The self-orthogonal codes can be used to construct quantum codes and minimal codes can be used to construct secret sharing schemes with safe and sufficient access structures.Key words:projective code;augmented code;self-orthogonal code;minimal codeFoundat
7、ion Item(s):National Natural Science Foundation of China(No.11901049,No.12071138);The Young Talent Fund of University Association for Science and Technology in Shaanxi,China(No.20200505);The Open Research Fund of National Mobile Communications Research Laboratory,Southeast University(No.2022D05);The
8、 Fundamental Research Funds for the Central Universities,CHD(No.300102122202);Shanghai Trusted Industry Internet Software Collaborative Innovation Center1引言令q=pe，p是一个素数，r=qm，Fr表示有r个元素的有限域.设集合CFnq，如果C是Fnq上的Fq-线性子空间，那么称C是q元线性码.若线性码C的维数为k，最小（Hamming）距离为d，则记C的参数为n,k,d.这里n称为线性码的码长，k表示码的信息位数，kn表示码收稿日期：202
9、1-12-08；修回日期：2022-05-15；责任编辑：李勇锋第 1 期陈辅灵:基于二次乘法特征的射影线性码的传输效率，d可用于刻画码的检错能力和纠错能力1.特别地，线性码的最小距离恰好是C中所有非零码字汉明重量的最小值.线性码C的对偶码定义为C=cFnq：=0,cC,其中表示这两个向量的欧氏内积.当线性码C的最小距离d3时，称C为射影码.有限域Fq上n,k射影码生成矩阵的列向量可以看作射影空间PG(k-1,Fq)中的点.在编码理论中，希望构造出的线性码同时具有高的传输效率和良好的检错、纠错能力，即kn大且d大.然而，n,k,d之间相互制约，它们满足一些界.参数为n,k,d的q元线性码满足如
10、下的球填充界 1：qnqk(i=0()d-1/2(q-1)i()ni).参数为n,k,d的q元线性码也满足如下的Griesmer界2：ni=0k-1|dqi.此外，如果存在参数为n,k,d的q元线性码，则该线性码满足Singleton界1：nk+d-1.如果不存在参数为n,k,d+1的线性码，则称参数为n,k,d的码为最优码.如果参数为n,k,d的码为最优码，则称参数为n,k,d-1的码为几乎最优码.特别地，恰好达到Singleton界的码称为MDS码.线性码的重量分布是编码理论中的重要研究课题.令Ai表示码长为n的线性码C中所有重量为i的码字个数，序列(1,A1,A2,An)称为C的重量分布
11、，1+A1z+A2z2+Anzn称为C的重量计数器.线性码的重量分布一般很难计算，文献中研究了一些特殊线性码的重量分布320.Ding 等人在文献 21 中构造了线性码CD=(Trr/q(bd1),Trr/q(bd2),Trr/q(bdn)：b Fr,其中集合D=d1,d2,dn F*r称为线性码CD的定义集.通过选取合适的定义集，可以构造一些重量较少并且参数比较好的一些线性码.文献中已有代表性结果如下：（1）Ding 等人利用一些PN函数构造定义集，得到了一些二重码和三重码21；（2）Tang 等人用弱正则bent函数构造定义集，得到了一些二重码和三重码3；（3）Zhou 等人用二次函数构造
12、定义集，得到了一些二重码和三重码19；（4）Li等人利用一些特殊 差 集 构 造 定 义 集，得 到 了 一 些 重 量 较 少 的 线性码22.线性码的概念还可以推广到有限环上，一些文献研究了环上的线性码23,24.构造射影码是编码理论中比较困难的问题之一.本文基于有限域的二次乘法特征构造定义集，得到了两类线性码.主要结果如下：（1）借助于有限域上的指数和分别计算出了这两类线性码的重量分布，结果表明这两类线性码分别是三重和二重射影码；（2）计算出了这两类线性码对偶码的参数，结果表明对偶码关于球填充界几乎最优.此外，本文还得到了一些自正交码和极小码，它们可用于构造量子码和密钥共享方案.2预备知
13、识2.1有限域上特征与指数和定义1 有限域Fr到Fq的迹函数定义为Trr/q(x)=x+xq+xqm-1.乘法群F*r到F*q的范函数定义为Nqm/q(x)=xxqxq2xqm-1=xqm-1q-1.显然迹函数为Fr上加法满同态，范函数为F*r上乘法满同态.定义2 令q=pe，p是一个素数且e为正整数.令p表示p次本原复单位根，有限域Fq上加法特征定义为a(x)=Trq/p(ax)p,xFq，其中a：aFq构成加法群且包含Fq的全部q个不同的加法特征.特别地，当a=0时，称0为Fq的平凡加法特征；当a=1时，称1为Fq的典范加法特征.显然，a(x)=1(ax),xFq.令F*q=Fq0.加法特
14、征满足如下的正交关系17：xFq1(ax)=q,若a=0,0,若aF*q.定义3 有限域Fq的乘法特征定义为乘法群F*q到 复 乘 法 群C*的 同 态 映 射，即满 足(xy)=(x)(y),x,yF*q.Fq的所有乘法特征可由如下函数给出：j(k)=jkq-1,k=0,1,q-1,其中0jq-2.特别地，0称为平凡乘法特征，：=(q-1)/2称为二次乘法特征.乘法特征的正交关系如下17：xF*qj(x)=|q-1,若 j=0,0,若j0.定义425 设,分别为Fq的乘法特征和加法特征.定义有限域上高斯和G(,)=x F*q(x)(x).对于非平凡特征，称G(,)为Fq上的二次高斯和.引理1
15、25 令为Fq的二次乘法特征，1为Fq的典范加法特征，则33电子学报2023 年 G(,1)=(-1)e-1(-1)(p-12)2eq=|(-1)e-1q ,若p1(mod4),(-1)e-1(-1)eq ,若p3(mod4).定义5 令为Fq的非平凡加法特征，fFqx为正次数多项式.形如cFq(f(c)的特征和称为Weil和.引理225 令为Fq的非平凡加法特征，其中q为奇素数的方幂.f(x)=a2x2+a1x+a0Fqx,a20,则cFq(f(c)=(a0-a21(4a2)-1)(a2)G(,).2.2Pless幂等式设C是Fq上参数为n,k,d的线性码，其重量分布为(1,A1,A2,An
16、).设 对 偶 码C的 重 量 分 布 为(1,A1,A2,An).它们满足如下Pless幂等式25：j=0nAj=qk,j=0njAj=qk-1(qn-n-A1),j=0nj2Aj=qk-2(q-1)n(qn-n+1)-(2qn-q-2n+2)A1+2A2),j=0nj3Aj=qk-3(q-1)n(q2n2-2qn2+3qn-q+n2-3n+2)-(3q2n2-3q2n-6qn2+12qn+q2-6q+3n2-9n+6)A1+6(qn-q-n+2)A2-6A3.Pless 幂等式在编码理论中常用于计算对偶码的重量分布.3主要证明及结果令r=qm，q为奇素数的方幂.设1和1分别为Fr和Fq的典范加法特征.设和分别为Fr和Fq的二次乘法特征.3.1第一类射影线性码设C是Fq上n,k,d线性码，C的生成矩阵为G，长度为n的向量1=(1,1,1)C.定义C的增信码为如下矩阵生成的线性码：|G1,则增信码-C的参数为n,k+1.显然-C的传输效率大于C的传输效率.设为Fq的本原元，取定义集D=xF*r：(Trr/q(x)=-1=xF*r：Trr/q(x)2,构造线性码-CD=(Trr/q(bx