1、第 卷第期计算机集成制造系统 年月 ：收稿日期：；修订日期：。；基金项目：国家自然科学基金资助项目（，）；福建省科技计划引导性资助项目（）；中国博士后科学基金第 批面上资助项目（）；泉州市科技计划资助项目（，）。：，（，），（），（），（，）基于邻域保留投影的工作模态参数识别符伟华，王成，陈建伟（华侨大学 计算机科学与技术学院，福建厦门 ；西安交通大学 机械结构强度与振动国家重点实验室，陕西西安 ；圣地亚哥州立大学 数学与统计学院，圣地亚哥美国加州 ）摘要：针对拉普拉斯特征映射和等距离映射算法识别弱非线性特征模态精度低的缺点，提出一种利用邻域保留投影算法的工作模态参数识别方法。该方法利用局部线
2、性特征寻找结构位移响应数据的低维嵌入数据，低维嵌入数据与模态坐标响应矩阵相对应；利用单自由度识别技术从模态响应矩阵中识别出结构的模态固有频率；再用最小二乘广义逆估计变换矩阵，变换矩阵与模态振型矩阵相对应。该方法能够保留数据的局部线性特征，从而识别弱非线性模态。通过三维圆柱壳仿真数据集的识别结果表明，相比拉普拉斯特征映射和等距离映射算法，邻域保留投影算法能够更有效地识别出弱非线性特征模态的参数，平均识别精度更高。关键词：工作模态参数识别；邻域保留投影；低维嵌入；最小二乘广义逆中图分类号：；文献标识码：，（，；，；，）：，：；计算机集成制造系统第 卷引言工作模态分析可以识别出结构的模态参数（固有频
3、率、阻尼比、模态振型），常应用于结构损伤识别、设备故障检测、结构设计等，然而现实中大型结构的激励输入一般无法测量。为解决该问题，一种仅利用结构的位移响应信号识别出结构模态参数的方法受到广泛关注。流形学习（）自 年首次被提出以来，已经成为信息科学领域的研究热点。假设数据是均匀采样于一个高维欧氏空间中的低维流形，流形学习的目的是找到高维空间中的低维流形，并求出相应的嵌入映射。基于这个概念可知，运用流形学习降维后的数据同样满足原始高维数据有关的几何约束关系。目前，运用流形学习的算法有线性的主成分分析（，）、非线性的等度量映射（，）、拉 普 拉 斯 特 征 映 射（，）算法、局 部线 性 嵌入（，）算
4、法 等，不少算法已被应用于结构的工作模态参数识别中。针对时不变结构的工作模态分析，王成等 利用 识别结构的工作模态参数，解决其他方法识别过程中出现的虚假模态问题；白俊卿等 利用局部线性嵌入的流形学习方法将模态数据集视作高维数据，通过寻找低维的线性嵌入数据，识别复杂三维连续体结构的工作 模 态 参 数；董 龙 雷 等 和 官 威 等 验 证 了 算法在工作模态参数识别中的影响因素，并在热振激励下的薄壁结构振动响应数据上验证了算法的识别效果；等 采用 算法识别三维结构的工作模态参数，并研究算法的不同参数对结果的影响；符伟华等 利用拉普拉斯特征映射识别三维结构的模态参数。流形 学 习 中 的 邻 域
5、 保 留 投 影（，）算法 不但可以在降维过程中尽可能地保留数据的邻域线性关系，而且比 算法的时间 开销更 低；相比 算法，算法能够从局部线性构造数据特征，从而识别出具有弱非线性的模态。因此，本文提出利用 算法识别线性时不变结构的工作模态参数，主要创新点如下：（）针对 算法与 算法识别弱非线性特征模态精度低的缺点，提出基于邻域保留投影的工作模态参数识别方法。（）找出各阶模态坐标响应与 算法，求得低维嵌入数据之间的一一对应关系，从而将工作模态参数识别问题转化为运用 算法对结构振动响应数据进行降维的问题。（）将 算法引入动力学系统，提出利用 算法和三维结构信号直接组装法识别结构的工作模态参数识别方
6、法，并与利用 算法和 算法的工作模态参数识别方法从理论和实验上进行比较。（）在三维圆柱壳结构的振动响应仿真数据集上，对本文所提基于 算法的工作模态参数识别方法进行验证。相比基于 与 算法的工作模态参数识别方法，基于 算法的工作模态参数识别方法能够有效识别出弱非线性特征的模态参数，且平均识别精度更高。基于邻域保留投影的工作模态参数识别 工作模态参数识别问题描述根据结构的动力学理论，包含自由度和一定粘性比例阻尼的线性时不变振动结构在物理坐标系统下的动力学方程表示为（）（）（）（）。（）式中：，分别为结构的 质 量 矩 阵、阻 尼 矩 阵 和 刚 度 矩 阵；（），（），（），分别为结构的位移响应信
7、号、速度响应信号和加速度响应信号的时域采样矩阵；（）为结构的外载荷激励向量的时域采样矩阵。在模态坐标下，自由度小阻尼的工程结构的位移响应信号（）（），（），（）可做如下分解：（）（）（）。（）式中：，为由结构的阶模态的振型向量 （，）构成 的 模 态 振 型 矩 阵；（）（），（），（），（），为由结构的阶模态响应（）（，）构成的模态响应矩阵。（）和（）相互独立（和为不同的模态阶数），主振型向量满足相互正交，即第期符伟华 等：基于邻域保留投影的工作模态参数识别（）（）（）（）（）（）（）（）；（）（，）；（，）。（）工作模态参数识别方法的原理是仅利用结构的位移响应信号（），根据式（）识别出模态
8、振型矩阵和模态响应矩阵（）；最后，采用单自由度识别技术从模态响应矩阵（）识别出各阶的模态固有频率。基于邻域保留投影的工作模态参数识别 算法是一种保留数据集内部几何联系的降维算法，即降维得到的低维嵌入数据尽可能保留原始高维空间数据内部的几何关系。设在空间上有个实值向量的数据集（）（），（），（）位于一个光滑的维流形上（）。算法降维后，空间上的（）（），（），（）与空间上的（）（），（），（）有相同的几何性质，即存在一个投影矩阵，使得（）（）。算法的降维过程如下：（）构建（）（），（），（）的邻 接 图通 过近 邻 算 法 获 得 节 点（）（，）的个近邻点，如果（）在（）的个 最 近 邻 中，则
9、 从 节 点（）到 节 点（）放置一条有向边（），（）。（）计算边的权重设矩阵表示权重矩阵，其中 表示边（），（）的权重值。如果两个节点不相连，则权重为。相连边的权值可以通过最小化以下目标函数来计算：（）（）；，。（）有关 求解式（）的最 小 值问 题，请参阅 文献 。（）计算投影矩阵通过求解以下广义特征向量问题计算线性投影：（）（）（）（）。（）式中（）（），（，），为半正定的对称矩阵。设列向量组，为式（）求解特征值，对应的特征向量，且，则（）的低维嵌入（）表示为（）（）；（），。（）式中：（）为维向量；投影矩阵的大小为。算法通过求得投影矩阵，计算低维嵌入（）（），（），（），且（）相互独立
10、。因此，根据式（）和最小二乘广义逆，存在变换矩阵（，），使得式（）成立，（）可以分解为式（）。（）（）（）（）；（）（）（）（）。（）对比式（）和式（）可知，（）的低维嵌入（）与模态响应（）相对应，转换矩阵与模态振型相对应。图所示为基于 算法的工作模态参数识别原理图。基于邻域保留投影的三维结构工作模态参数识别方法针对复杂的三维结构，结构的时域响应信号表计算机集成制造系统第 卷示为：（）（）（）；（）（）（）；（）（）（）。（）式中：（），（），（），分别为复杂三维结构，方向的位移响应信号；（）为由各阶模态响应（）构成的模态响应矩阵；，分别为复杂三维结构，方向的模态振型矩阵；为模态的阶数，也是
11、算法求得的低维嵌入的维数。复杂三维结构第阶模态的模态振型可以通过将这个方向上的第阶振型组装成，来表示。（）为复杂三维结构的模态坐标响应矩阵，可以采用单自由度识别技术从模态响应矩阵（）识别出各阶的模态固有频率。结合振动理论，可以推导出复杂三维结构，个方向上的模态坐标响应（）是一致的。因此，本文采用直接组装三维位移响应求解法。根据式（）和式（），将，个方向的模态响应组装成整个三维结构的整体位移模态响应，得到 （）（）（）（）（）（）（）（）（）。（）式中：（）为三维结构的整体模态响应；矩阵 为三维结构的各阶模态主振型向量 构成的模态振型矩阵；（）为三维结构的各阶模态响应（）构成的模态响应矩阵。算法
12、与直接组装法相结合的三维结构工作模态参数识别方法流程图如图所示。方法的适用范围和理论分析比较本文提出的基于 线性时不变工作模态参数识别方法的适用范围如下：（）振动响应传感器布置的个数应大于或等于方法可识别的阶数。（）结构受到的激励向量应为近似平稳的高斯白噪声。本文主要将基于 算法的三维结构工作模态参数识别方法与基于 算法 和 算法 的三维结构工作模态参数识别方法进行比较。相比非线性的 算法和 算法，算法在降维过程中能够保持数据的局部线性特征构不变，从而识别出弱非线性模态。另外，时间复杂度主要由数据点个数、原始维数、目标维数、近邻点个数和稀疏矩阵中的零元和非零元比率确定。因此，基于 ，种算法对线
13、性时不变结构进行工作模态参数识别的对比，如表所示。表基于 算法、算法和 算法的三维结构工作模态参数识别比较方法模态缺失现象精度时间复杂度 少高（）（）（）多低（）（）（）多低（）（）（）仿真验证与结果分析 仿真对象和数据集介绍为了验证 算法识别线性时不变结构工作模态参数的有效性，本文在复杂连续的三维圆柱壳上进行仿真，结构的模拟图如图所示，复杂连续的三维圆柱壳结构的参数设置如表所示。第期符伟华 等：基于邻域保留投影的工作模态参数识别表连续的三维圆柱壳结构的参数设置结构参数参数值结构参数参数值材料厚度 弹性模量 半径长度 泊松比 总长 密度（）仿真过程中，人为设置 进行测量。圆柱壳上的传感器观测点
14、放置方式如下：先沿圆柱壳的长度轴向将圆柱壳均匀拆分为 个圈，再在每个圈内均匀放置 个观测点，圆柱壳表面共布置 个传感器观测点。完成装置布置后，用激励装置对圆柱壳施加高斯白噪声激励，采样得到三维圆柱壳的振动响应信号。在该过程中，设定机器的采样频率为 ，采样时间长度为，即 。采用 中的有限元方法读取传感器输出的振动响应信号。最终测量得到三维圆柱壳结构，方向的振动位移响应数据集合，故 。第 个观测点的响应信号集合如图所示。评价指标为了评价 算法识别线性时不变结构模态参数的准确性和精度，本文将用 算法识别的模态参数与有限元方法分析得到的模态参数作为理论值进行比较，从而分析 算法识别时不变结构工作模态参
15、数的有效性。本文利用模态置信度准则（用 表示）评估 算法识别第阶模态振型的准确度，具体定义为（）（）（）。（）式中：为 算法识别得到的第阶模态振型；为理论的第阶模态振型。从式（）可知，模态置信度准则的取值范围是，的值越接近，识别第阶模态振型的精度越高。基于 的三维圆柱壳工作模态参数识别结果在阻尼 时，将有限分析（，）方法识别的模态参数作为理论值。理论值、和 算法识别出的固有频率、值、模态振型图如表表所示，基于 ，的三维圆柱壳识别时间开销分别为 ，。为了更好地进行比较，本文将 ，算法识别的模态振型三维图进行坐标轴旋转，形成二维形状图（三维图形的俯视图）。表和表比较了不同近邻点下，算法识别的模态固
16、有频率和模态振型的 值。基于 的三维圆柱壳工作模态参数识别结果分析本文提出基于 算法的工作模态参数识别方法，并利用该方法识别三维圆柱壳结构的工作模态参数。对 节的三维圆柱壳工作模态参数识别结果分析如下：（）从表表可知，算法结合直接组装方法能够有效识别出三维圆柱壳的模态固有频率计算机集成制造系统第 卷表基于理论值、算法、算法和 算法识别的固有频率比较 理论值 阶数固有频率固有频率误差固有频率误差固有频率误差 表基于 算法、算法和 算法识别的模态振型 值比较阶数 平均识别精度 和模态振型。相比 算法和 算法，算法能以较高的精度识别第阶固有频率和模态振型。另外，算法的时间开销比 算法低，但高于 算法。（）算法和 算法无法识别第阶固有频率和模态振型的原因是，第阶模态参数具有较弱的非线性特性，算法和 算法的提取效果不好。算法是一种保持数据局部线性特征进行降维的非线性降维算法，能有效识别出结构中具有非线性特征的模态参数。（）从表可知，算法识别三维圆柱壳第表基于理论值、算法、算法和 算法识别的模态振型图比较，阶模态振型的精度高于 算法，但第，阶的模态振型识别精度低于 算法。另外，算法识别模态振型的平