1、收稿日期:2022 10 08;修订日期:2022 12 02作者简介:周学楷(2001)，男，本科，专业方向:测绘工程。基金项目:江西省教育厅科学技术研究项目(191607)。*通信作者:曾绍炳(1968)，男，副教授，从地理信息系统、工程测量技术应用研究及测绘工程教学。E mail:199160030 ecut edu cn。第 41 卷第 1 期2023 年 2 月江西科学JIANGXISCIENCEVol 41 No 1Feb 2023doi:1013990/j issn1001 3679 202301023基于空间解析几何的空间点位测量方法周学楷，李程鹏，曾绍炳*(东华理工大学长江学
2、院，344000，江西，抚州)摘要:工程测量实践中，经常遇到需要测定在某些工程实体(建筑物、桥梁、输电线等)上的空间点的点位。鉴于空间点必定在工程实体的某个平面或者规则曲面上，提出基于空间解析几何的空间点位测量方法，获得空间点的三维坐标。以输电线上空间点位测量为例，对该测量方法的基本原理、观测方案、观测量与工程实体空间几何元素的关联、相关数学计算模型推演等进行探讨。对模拟悬空输电线进行实验对比测量，测量结果验证了基于空间解析几何的空间点位测量方法的有效性。关键词:空间解析几何;空间点位;测量;方法中图分类号:P258文献标识码:A文章编号:1001 3679(2023)01 136 05A S
3、patial Point Location Measurement MethodBased on Space Analytic GeometryZHOU Xuekai，LI Chengpeng，ZENG Shaobing*(Yangtze iver College，East China University of Technology，344000，Fuzhou，Jiangxi，PC)Abstract:In the practice of engineering measurement，it is often encountered that the point positionsof spa
4、tial points on certain engineering entities(buildings，bridges，transmission lines，etc)needto be determined Given that the spatial points must be on a certain plane or regular surface of theengineering entity，a spatial point measurement method based on space analytic geometry is proposedto obtain the
5、three dimensional coordinates of spatial points Taking the spatial point locationmeasurement on transmission line as an example，the basic principle of this measurement method，observation scheme，correlation of observation quantity with the spatial geometric elements of engi-neering entity，and derivat
6、ion of relevant mathematical calculation model are discussed The experi-mental comparative measurements on simulated overhanging transmission lines are carried out，andthe measurement results verify the effectiveness of the spatial point location measurement methodbased on space analytic geometryKey
7、words:space analytic geometry;spatial point location;measurement;method0引言工程测量实践中，如为了计算建筑(构)物的表面积、确定拱形桥梁的弧线、确定输电线的高度或空间姿态等，经常遇到需要测定在某些工程实体(建筑物、桥梁、输电线等)上的空间点的点位。当这些点位具有无法到达即无法安置棱镜或者免棱镜无法实现测量目的情况时，必须采用一些特殊的方法进行测定。悬高测量方法经常被用于所述的测量实践中，也是众多同仁讨论较多的一种方法，但悬高测量方法仅仅解决了测量高度的问题1 7。鉴于工程实体表面总是可以分解为若干平面或者规则曲面，且需要测
8、定的空间点必然在其某个面上的客观实际，将测量的目的解构成空间几何的关系问题，即空间几何元素如空间平面(或曲面)、空间直线(或曲线)、空间点的几何关系。本文提出基于空间解析几何的空间点位测定方法，就是试图建立测量技术(方法)获得的空间几何元素(直线、平面)与工程实体上的空间几何元素之间的关联，将需要测定的对象，转化为空间解析几何的计算关系。1空间点位测量原理以悬空输电线上空间点测量为例。如图 1 所示，输电线路上铁塔 1 和铁塔 2 之间架设有悬空输电线。A 点为铁塔1 架线横杆与输电线节点，B点为铁塔 2 架线横杆与输电线的节点，A、B 2 个节点具有明显标志，可以重复照准;M、N 为地面上
9、2 个已知控制点。图 1输电线空间位置测量示意图现假设测量目的是:根据已知控制点 M(xm，ym，Hm)、N(xn，yn，Hn)测定悬空输电线上任意一点 P 的空间点位即坐标(xp，yp，Hp)或者整个输电线的空间位置(姿态)。经过 A、B 两点的输电线是自然下垂的，其形成的空中曲线记为 APB;过 A、B 两点会有唯一一个竖直面记为 SAPB，则有8:P APB，APB SAPB(1)理论上讲，P 点是经过 P 点但不在 SAPB竖直面内的任意一条直线 L 与竖直面 SAPB的交点。显然，仅需要测定 A、B 两点的平面坐标即可获得竖直面 SAPB的方程。过 P 点不在竖直面 SAPB上的任意
10、一条直线 L，可以选定通过已知点和悬空输电线上的任意一点 P 点的直线，如过已知点M 和 P 点的直线记为 LMP或者过已知点 N 和 P 点的直线记为 LNP，若求算出了 LMP或者 LNP的直线方程，则有:LMP SAPB=P 或 LNP SAPB=P(2)P 点的空间坐标(xp，yp，Hp)就是竖直面 SAPB和直线 LMP(或 LNP)的交点坐标。为了便于计算，用 M 点测站的视线 LOP即过仪器中心 O(全站仪三轴交点)与 P 点的直线 LOP代替 LMP，则有:LOPSAPB=P 等价 LMPSAPB=P 或 LNPSAPB=P(3)如果测定输电线上若干个 P 点的空间坐标，则可拟
11、合得到输电线的空间曲线方程即空间位置姿态。本文仅就测量 P 点的空间坐标(xp，yp，Hp)进行探讨分析。2测算竖直面 SAPB的方程如前所述，仅需要测定 A、B 两点的平面坐标即可获得竖直面 SAPB的方程。为此，观测方案为:采用前方交会法测定 A、B 两点的平面坐标。如图 1 所示，全站仪架设在已知点 M 上，观测直线LMA与直线 LMN的水平角 AMN，观测直线 LMB与LMN的水平角 BMN;同理，全站仪架设于已知点 N 上，观测直线 LNM与直线 LNB的水平角MNB，观测直线 LNM与 LNA的水平角 MNA。由前方交会计算公式(称为余切公式或变形的戎格公式)9 计算 A 点的坐标
12、(同理计算 B 点坐标):xa=xmcotMNA+xncotAMN ym+yncotAMN+cotMNAya=ymcotMNA+yncotAMN+xm xncotAMN+cotMNA(4)SAPB是三维空间的竖直面，可以赋予 A、B 两点的第三维坐标值为任意值，不妨设为 0，则 A、B点的三维坐标为xa，ya，()0、xb，yb，()0;另取必定在竖直面 SAPB内的 C 点，设 C 点坐标为(xa，ya，1)。A、B、C 三点确定的平面即为竖直面SAPB，其方程为8:(yb ya)(x xa)+(xa xb)(y ya)=0(5)731第 1 期周学楷等:基于空间解析几何的空间点位测量方法3
13、测算空间直线 LOP的方程为了求算直线 LOP的方程，观测方案为:全站仪架设于已知点 M 上(仪器中心为 O)，观测直线LMP与直线 LMN的水平角 PMN，LOP方向(视线)的竖直角 op，量取仪器高 iom。根据已知点 M(xm，ym，Hm)、N(xn，yn，Hn)，求算直线 LMN的方位角 mn9:mn=arctanymnxmn=arctanyn ymxn x()m(6)由 mn计算 LMP的方位角 mp，因直线 LOP和直线 LMP同在一个竖直面上，则有:op=mp=(mn PMN)360(7)式中:当 LMP在 LMN的左侧时，取“PMN”，反之，取“+PMN”;当括号内计算值为负值
14、时，取“+360”，当括号内计算值超过 360 时，取“360”。M 点和 O 点在同一铅垂线上，M 点坐标(xm，ym，Hm)和 O 点的坐标(xo，yo，Ho)有如下关系:xo=xm，yo=ym，Ho=Hm+iom(8)由 O 点坐标(xo，yo，Ho)、直线 LOP的竖直角op和方位角 op，则空间直线 LOP的点向式方程(或对称式方程)8 为:x xocosopcosop=y yosinopcosop=H Hosinop(9)令式(10)等于 t，则空间直线 LOP的参数方程8 为:x=tcosopcosop+xoy=tsinopcosop+yoH=tsinop+Ho(10)4解算 P
15、 点的空间坐标将式(10)代入式(5)，解算 t:t=(xa xo)(yb ya)+(xa xb)(ya yo)(yb ya)cosopcosop+(xa xb)sinopcosop(11)将式(11)代入式(10)，即 P 点的空间坐标(xp，yp，Hp)为:xp=cosopcosop(xa xo)(yb ya)+(xa xb)(ya yo)(yb ya)cosopcosop+(xa xb)sinopcosop+xoyp=sinopcosop(xa xo)(yb ya)+(xa xb)(ya yo)(yb ya)cosopcosop+(xa xb)sinopcosop+yoHp=sinop(
16、xa xo)(yb ya)+(xa xb)(ya yo)(yb ya)cosopcosop+(xa xb)sinopcosop+Ho(12)5模拟测量实验对比分析为了验证基于空间解析几何的空间点位测量方法的可靠性，对模拟悬空输电线上若干点，分别采用既有测量方法(前方交会、水准测量、钢卷尺量距等)和本文测量方法进行实验观测对比。5 1模拟测量实验器材模拟测量实验器材:全站仪(中海达 ZTS 421，2级)1 台套、棱镜 1 套、自动安平水准仪(博飞 DZS3 1)1 台套、水准尺 1 对、尺垫 1 对、测绳(50 m)1 根、钢卷尺(3 m)1 把、垂球 1 个等。5 2模拟测量实验布设方案如图 2 所示，在距离控制点 M、N 大约 30 50 m 的地方，两端固定悬挂测绳(模拟悬空输电线)，测绳上预先设置 7 个观测标志，其中距离测绳两端约 1 m 处设置标志为 A、B(相当于图 1 所示的 A、B 两点)，在测绳中部间距 3 4 m 设置 5个观测点标志 P1 P5;用吊锤法分别将测绳上的 P1 P5点投影到地面上，并做好地面标志，对应为 P1 P5。考虑到要用钢卷尺分别量取垂线Pi