1、书书书第 卷第期 年月系统工程与电子技术 文章编号：（）网址：收稿日期：；修回日期：；网络优先出版日期：。网络优先出版地址：通讯作者引用格式：王东，崔忠马，陈文东，等基于模糊递归和最优硬阈值的局部投影降噪算法系统工程与电子技术，（）：，（）：基于模糊递归和最优硬阈值的局部投影降噪算法王东，崔忠马，陈文东，舒勤，（四川大学电气工程学院，四川 成都 ；北京遥感设备研究所，北京 ）摘要：针对原始局部投影降噪算法的局部邻域选取问题和子空间划分问题，提出了一种基于模糊递归图和最优硬阈值准则的局部投影降噪算法。首先，利用模糊递归图确定局部邻域范围；然后，再对邻域矩阵进行奇异值分解，并利用最优硬阈值准则对局
2、部邻域的信号子空间和噪声子空间进行划分；最后，进行投影去噪。信号的仿真结果表明，所提方法能够提高信噪比并降低均方误差，恢复原始吸引子的形态结构。对实测含噪心电图信号进行处理后，信噪比显著提高，验证了本方法的有效性。关键词：局部投影；模糊递归图；最优硬阈值准则；降噪；混沌信号中图分类号：文献标志码：，（.，；.，）：（），（），（），：；引言实际测得的信号易受噪声干扰，从而破坏信号的结构特征，因此降噪是后续各种信号处理的基础 。传统信号降噪方法基于线性系统的假设，认为信号和噪声的频谱不完全重合。但是，由混沌系统产生的信号往往具有宽频谱、内在伪随机等混沌特性，信号和噪声频谱重合，使得传统线性滤波方
3、法失效。等和 等提出的基于混沌动力学理论的局部投影降噪算法为具有宽频谱特性的混沌信号降噪提供了一种新方法。该方法首先根据 定理重构信号，得到一个与原始动力系统微分同胚的相空间。期望信号的吸引子被限制在一个低维流形上，而噪声的吸引子分散在流形周围。局部投影降噪算法根据信号与噪声在相空间中局部动力学特性与局部几何特性的不同，区分信号子空间和噪声子空间，利用几何投影去除噪声分量，再将相空间 系统工程与电子技术第 卷反重构为时间信号，从而达到降噪的目的。在实际情况中，许多信号都有混沌特性，目前该算法成功应用的场景包括人类语音信号处理、振动信号分析，还包括生物信号处理，如脑电信号处理、心电信号处理、呼吸
4、声音信号处理，以及激光数据处理、故障检测 等。邻域选取和子空间划分是局部投影算法的两个研究重点。邻域选取的方法很多，但都存在不足。等和 等直接指定邻点数目，这种方式易受人为因素影响。等 利用递归图估计邻域半径，效果优于原始方法，但计算复杂。冯飞龙等 利用小波分解估计初始邻域半径，再进行邻点搜索，徐礼胜等 采用经验模态分解（，）估计邻域半径，但这些方法都需要预先估计噪声水平。等 和 等 利用 聚类算法确定邻域，但聚类数难以确定。对于子空间划分，现有方法直接指定子空间的维数，或 根 据 特 征 值 的 大 小 对 子 空 间 进 行 划 分。等 通过重构信号的短时轨迹，利用平滑正交分解识别子空间。
5、但考虑到混沌吸引子本身具有分数维的性质，系统局部邻域的动力学特性以及每个邻域内的噪声分量占据的空间也不尽相同，且在实际情况中可能并不知道原始动力系统的相空间维数，所以每个局部邻域应该进行不同的子空间划分。针对以上问题，本文提出基于模糊递归图与最优硬阈值准则的局部投影降噪算法。首先，根据模糊递归图对邻域进行选择。为避免计算邻域协方差矩阵，直接将邻域矩阵进行奇异值（，）分解；然后，根据最优硬阈值对局部邻域的信号子空间和噪声子空间进行划分，避免人为因素的影响；最后，针对高斯白噪声，采用本文所提方法分别对仿真 信号与实测含噪心电图（，）信号进行仿真研究，并与其他局部投影算法以及其他 信号降噪方法进行对
6、比，仿真结果验证了本文方法的有效性。局部投影算法原理 相空间重构根据 嵌入定理，对于无限长、无噪的维混沌吸引子的标量时间信号（），在拓扑不变的意义下可以找到一个维的嵌入相空间。其中，。而对于有限长、含噪的信号，可采用坐标延迟重构。设，为一长度为的含高斯白噪声的单变量时间信号，选定一个时间延迟和嵌入维数，构造如下的相空间矢量：，（），（）式中：（）。由平均互信息量法 确定，即（）（，）（）（）（）式中：。取（）第一个极小值点对应的时间作为时间延迟。由 所提的方法确定，即（）（）（）（）式中：（）（）（，）；（，）为相空间邻点从维变化到维时的欧氏距离变化比率；（）是一个随着嵌入维数而变化的函数，取
7、（）停止变化时对应的维数作为嵌入维数。局部投影算法基于相空间重构局部投影降噪算法，利用信号与噪声在相空间中轨线的动力学特性与几何特性的不同，保留信号分量，抑制噪声分量，最大程度地恢复原始信号的吸引子流形。对于相点，将其在邻域内线性化展开：（）（）（）（）式中：（）是方向矩阵；为的对角权重矩阵，第一个对角元素和最后一个对角元素为较大值，其他对角元素为，即 （，），作用是抑制相点第一个和最后一个元素产生畸变；（）为相点的邻域内的相点的质心，即（）（）（）式中：为邻点数目；（）为的第个邻点；（）代表高阶误差。对于实际含噪信号，有（）（）（）如果噪声子空间的维数为，那么需要找出个标准正交矢量（，），使
8、得在这些矢量上的局部投影达到最小。定义邻域加权矩阵（）。为避免求取其他算法中的协方差矩阵，同时为了与后面算法统一，本文采用对加权邻域矩阵进行 分解的方式，以求出对应的信号子空间与噪声子空间。第个相点的邻域加权矩阵为（），（），（）（）对式（）进行 分解，得到：（）式中：，由信号子空间与噪声子空间构成。将 分解得到的奇异值按从小到大进行排列，有，其中大的奇异值对应信号子空间，小的奇异值对应噪声子空间。根据得到由噪声引起的分量，减去第个相点在噪声子空间中的投影，即得到修正后的相点：?（）（）为了进一步提高降噪效果，避免局部线性化产生较大误差，本文采用 等 提出的质心修正方法。修正后的质心为（）（）
9、第期王东等：基于模糊递归和最优硬阈值的局部投影降噪算法 式中：（）为质心的第个邻近质心；为邻近点个数，本文取。改进的局部投影算法 邻域选择在局部投影降噪算法中，邻域的选择十分重要。邻域选择得过小，会损失有效信息，受噪声干扰严重；邻域选择得过大，会使得线性逼近的效果不好。递归图 可以用来提取时间信号中的相关信息。但是，递归图的缺点是，动力系统的递归模式可视化对相似阈值的选取十分敏感。等 在递归图基础上提出了模糊递归图。相比于传统递归图，模糊递归图不需要选取相似阈值，且模糊递归图以灰度图的形式展示，能够为模式分析提供更丰富的信息。本文采用模糊递归图来对邻域进行选择。令，是重构相空间中相点的集合，给
10、定，用表示一个模糊递归图：（，）（，），（）式中：（，），表示和之间的一种模糊相似性的度量，其具有如下性质。（）自反性：（，）（）（）对称性：（，）（，）（）（）传递性：（，）（，），（，）（）式中：，；，；为聚类数，。（，）的值根据模糊均值（，）聚类算法 计算得到。算法通过最小化如下模糊目标函数实现：（，）（）（，）（）式中：，）为模糊度参数；（，；，）是划分矩阵；（，）是聚类中心矩阵；表示第个聚类中心；（，）表示某一范数，本文采用欧式范数。上述模糊目标函数满足，（）为了得到最优的和，通过迭代过程数值求解目标函数的最小值，迭代过程如下：（，）（，），（）（）（），（）当满足时，停止迭代。其中
11、，为迭代次数，为给定的精度水平。模糊递归图具有对称性，可以看作是相空间状态矢量之间的一种模糊关系。模糊递归图用灰度图表示，灰度值代表了状态矢量对之间的模糊关系，这与递归图是相互兼容的。灰度值越小，则表示这两个状态矢量越相似。一个灰度值为的像素点代表了两个状态矢量完全相似，即代表动力系统中一个 的递归事件。基于上述分析，本文的邻点选取方法如下：将模糊递归图中灰度值较小的点聚在一起，作为参考相点的邻域，即对于参考相点，选定一个阈值，将满足（，）的点作为的邻点，所有的点组成的邻域。信号与噪声子空间划分在进行投影修正之前，需要根据 分解得到的奇异值对信 号 子 空 间 与 噪 声 子 空 间 进 行
12、划 分。本 文 利 用 等 提出的最优硬阈值准则对信号子空间与噪声子空间进行划分，不需要预先估计噪声水平。最优硬阈值为（）（）式中：为奇异值的中位数；（）（），（）为（）（）（）（）（）（）对于前述的邻域加权矩阵；当时，；当时，；当时，。由以下方程的解得到：（）（）（）（）可以通过数值方法求解得到式（）积分方程中的值，从而求得阈值。根据最优硬阈值准则，将大于等于阈值的奇异值所对应的奇异向量所形成的子空间作为信号子空间，小于阈值的奇异值所对应的奇异向量所张成的子空间作为噪声子空间，由此实现了子空间的划分。改进算法的基本步骤基于以上分析，本文所提的局部投影降噪算法步骤如算法所示。算法改进的局部投影
13、降噪算法步骤输入：含噪信号（）输出：降噪信号?（）开始相空间重构：利用式（）计算平均互信息量并取第一个局部极小值对应的时间作为时间延迟；利用式（）计算（），取停止变化时对应的维数作为嵌入维数；对（）进行相空间重构，得到式（）表示的相空间。循环（）.选定参考相点。.邻域选择：根据式（）计算重构相空间的模糊递归图，得到第个参考相点的邻域。系统工程与电子技术第 卷.计算邻域质心和邻域矩阵：由式（）和式（）分别计算第个参考相点的邻域质心和邻域矩阵。.分解：根据式（）对邻域矩阵进行 分解，得到奇异值与右奇异向量。子空间划分：根据式（）的最优硬阈值准则对信号子空间与噪声子空间进行划分。投影修正：根据式（）
14、进行投影修正。结束反重构：将相空间恢复为时间信号?（），恢复方式采用式（），以减小误差。结束为减小反重构所产生的误差，进行如下操作：?（）?（），（）；，?（），（）（），?（），（）；，（）式中：?表示?的第个分量。为达到较好的效果，需将以上步骤重复迭代几次。仿真实例与工程应用 混沌信号仿真本文首先采用 混沌系统信号进行仿真。混沌系统由如下偏微分方程组描述：（）（）当参数取 ，时，系统呈现出混沌特性。采用四阶 方法数值求解上述偏微分方程组，初始值取，积分步长为 。取分量中的 个数据点进行仿真。对信号添加高斯白噪声，添加噪声后的信噪比为，然后使用本文所提的局部投影方法进行降噪处理。降噪效果如图
15、所示。由图可知，本文方法具有较好的降噪效果，在噪声较强的情况下也能够恢复信号。由图可以看出，降噪后，信号比较光滑，看不到噪声的影响，同时基本保持了 混沌吸引子的几何形状。参数对算法的影响本小节讨论邻域选择和阈值这两个参数对算法的影响。首先是邻域选择对算法的影响。信号添加噪声后的信噪比为。选取不同邻域对信号进行降噪，每个邻域仿真 次，然后取输出信噪比的平均值作为最终输出信噪比。由图可知，当邻域选取合适时，降噪后信噪比达到最大。邻域选择过小或过大都会使得信噪比下降。这是因为邻域选择过小，信号受噪声影响明显；而邻域选择过大，对于相空间轨线的逐段线性逼近效果差。图 混沌信号降噪前后时域波形图和相空间图
16、 图邻域选择对算法的影响 仍然选取上述信号，在计算得到的阈值上叠加一个随机误差后再进行降噪处理。由图可以看出，在有误差和无误差时，其降噪效果基本相同，这表明算法具有较好的鲁棒性。第期王东等：基于模糊递归和最优硬阈值的局部投影降噪算法 图阈值误差对算法的影响 不同局部投影方法对比为了进一步研究本文所提方法的降噪效果，将其他局部投影降噪算法与本文所提方法进行对比。选取降噪后的信噪比、均方误差、复杂度和耗时作为衡量降噪效果的评价指标。信噪比的计算公式为 （）（）式中：为信号的方差；为噪声的方差。均方误差的计算公式为 （）?（）（）式中：（）为原始纯净信号；?（）为降噪后的信号。首先，在信噪比为 的情况下，计算混沌信号重要的特征量：李雅普诺夫指数、关联维数，然后再统计每个方法计算的耗时。每种方法设定相同参数，迭代次，仿真 次，然后计算平均耗时。由表可以看出，由本文方法降噪后的信号计算得到的李雅普诺夫指数和关联维数最接近原始 信号的对应值，这表明 混沌吸引子中的确定性结构得到了较好的保留。另外，由表可以看出，本文方法较为耗时，这是因为本文方法在计算过程中涉及了模糊递归图的求解以及数值求解积分方程