1、第 4 5 卷 第 1 期2 0 2 3 年 1 月铁道学报JOUNAL OF THE CHINA AILWAY SOCIETYVol 45No 1January2 0 2 3文章编号:1001-8360(2023)01-0122-06基于序贯平差的沉降预测模型高效更新方法郑一帆，于先文(东南大学 交通学院，江苏 南京211189)摘要:沉降预测对于保证工程建筑物的正常使用寿命和安全性具有重要意义，而沉降预测模型更新又是其中的重要环节。针对沉降预测模型传统更新方法效率低、历史数据依赖性强的问题，用序贯平差取代传统最小二乘间接平差，得到一种新的模型更新方法。该方法能够大幅度减小数据的计算量与存储
2、量，显著提升算法效率，并提高模型更新的可靠性。同时，配合该方法的特性，推导出新的相关系数递推算法用于模型评价。利用沪苏通长江公铁大桥的工程沉降数据进行算例验证，对比分析两种方法的更新过程与成果。结果表明:新方法正确高效，具备较好的实用价值，可广泛应用于铁路、公路、桥梁等工程中。关键词:沉降预测;高效更新方法;序贯平差;预测模型;相关系数中图分类号:TU196文献标志码:Adoi:10.3969/j issn 1001-8360.2023.01.015Efficient Updating Method for Settlement Prediction Model Based onSequent
3、ial AdjustmentZHENG Yifan，YU Xianwen(School of Transportation，Southeast University，Nanjing 211189，China)Abstract:Settlement prediction is of great significance to ensure the durability and safety of engineering structures，while the updating of settlement prediction model is an important part of the
4、process This study aimed at addressing theproblems of the traditional method of updating settlement prediction models，principally its low efficiency and heavy de-pendence on historical data，by introducing a new method that substitutes sequential adjustment for least square indirectadjustment This ne
5、w updating method can significantly improve algorithmic efficiency and reliability of the model upda-ting process and dramatically alleviate the load of storing and computing data In addition，fitting the characteristics ofthis method，a new correlation coefficient recursive algorithm was derived for
6、model evaluation The settlement data ofShanghaiSuzhouNantong Yangtze Bridge were used for example verification to analyze the updating process and theresults of these two methods The results show that this correct，efficient，and useful method with good practical valuecan be applied to the constructio
7、n of railways，highways and bridgesKey words:prediction of settlement;efficient updating method;sequential adjustment;prediction model;thecorrelation coefficient收稿日期:2020-11-30;修回日期:2021-10-11基金项目:国家自然科学基金(41974030)第一作者:郑一帆(1998)，男，浙江江山人，硕士研究生。E-mail:617436187 qq com通信作者:于先文(1974)，男，安徽五河人，教授，博士。E-mai
8、l:yuxianwen seu edu cn不均匀沉降是导致建构筑物开裂、塌陷等结构性破坏的主要原因之一，严重影响建构筑物的服务性能，威胁其安全性与稳定性1。沉降预测是目前大多数工程进行地基处理的主要依据，其预测结果与工后不均匀沉降的处理效果密切相关。沉降预测分为两个步骤，首先使用工程的实测沉降数据建立沉降预测模型，然后通过沉降预测模型预测工后沉降。随着工程进展，沉降预测模型需要不断地更新来保障预测的质量。对于高铁、大型桥梁等时间跨度大的工程项目，建立一个沉降预测模型高效更新的方法具有重要的意义。目前，沉降预测模型的更新普遍采用简单的传统更新方法。在实际的工程中，广泛使用的模型如双曲线法模型2
9、-4、指数曲线法模型4-6、星野法模型8-9 等都使用传统最小二乘方法进行模型更新。该方法的具体过程为:新增观测数据后，利用全部数据列出误差方程进行最小二乘间接平差，得到新的沉降预测模型系第 1 期郑一帆等:基于序贯平差的沉降预测模型高效更新方法数。即便被广泛应用于实际工程中，传统更新方法也仍存在不足之处，具体表现为以下三点:数据存储量大，需要将历史沉降数据全部保存，历史沉降观测数据重复地参与拟合过程;模型更新计算量大，每次更新过程都需要使用到所有的沉降数据，计算过程中的矩阵维数可能会非常高;存在数据损失风险，由于历史数据数量庞大，可能存在数据丢失、被篡改、误录入等现象，对预测模型的正确更新带
10、来风险。针对传统更新方法所存在的这些问题，本文将序贯平差理论10-12 应用到沉降预测模型更新的领域，导出详细计算流程和相关系数算法，以避免历史数据的存储，有效提高模型更新效率，并通过工程算例验证新方法的正确性和高效性。1模型的传统更新方法不同沉降预测模型的方程有一定的差别，但包括双曲线法模型，指数曲线法模型，星野法模型在内的绝大多数模型可以表达为统一的二维线性形式，其表达式为y=a0+a1 f(t)(1)式中:a0、a1为模型系数;t 为观测时间;y 为包含 t 时刻沉降信息的因变量，为便于表达，下文直接用沉降观测量指代。在获取第 n+1 期新观测的沉降量 yn+1后，使用传统的更新方法对沉
11、降预测模型进行更新。首先利用全部 n+1 期沉降数据列出 n+1 维的误差方程组V=Aa(n+1)Y(2)式中:V=v1v2vn+1 ，v1、v2、vn+1为误差方程的改正数;A=111f(t1)f(t2)f(tn+1);a(n+1)为沉降预测模型的系数阵，a(n+1)=a0(n+1)a1(n+1);Y=y1y2y3 。利用最小二乘法可得系数矩阵的估值a(n+1)=(ATPA)1ATPY(3)式中:P 为观测值的权矩阵，其确定方法可参考文献 16。根据式(3)可得更新后的沉降预测模型为y=a 0(n+1)+a 1(n+1)f(t)(4)计算预测模型的相关系数为n+1=n+1i=1f(ti)fn
12、+1(t)yiyn+1()n+1i=1f(tn+1)fn+1(t)2ni=1(yiyn+1)2(5)式中:fn+1(t)为 n+1 期 n 数据的算术平均值;yn+1为n+1 期 y 数据的算术平均值。传统更新方法算法简单，但是随着观测时期的延长，沉降观测数据的不断增加，误差方程组的扩充降低了计算的效率。同时，历史观测数据转抄等过程中可能发生错漏，大量存储的历史观测数据增加了模型更新发生错误的风险。2基于序贯平差的模型高效更新方法2.1高效更新方法序贯平差方法的核心思想是利用前期平差结果和当前观测数据进行逐次平差10，在测量的多个领域已有成功的应用13-15。为改善传统更新方法的缺陷，将序贯平
13、差理论引入沉降预测模型更新过程中，以得到模型高效更新方法。基于前 m(m2)期数据，利用最小二乘法首次得到沉降预测模型为y=a 0(m)+a 1(m)f(t)(6)以及首个系数向量估值的权阵为W(m)=ATPA(7)自 m+1 期起，即可利用序贯理论进行模型更新。下面以第 n+1(n m)期数据为例，导出沉降预测模型高效更新计算公式。假设基于前 n 期数据，已得到沉降预测模型的系数估值 a(n)及其权阵 W(n)，新增第 n+1 期沉降观测量 yn+1后，使用高效更新方法对沉降预测模型进行更新。首先，将系数估值 a 0(n)、a 1(n)虚拟为观测值，并建立其误差矩阵 v(n+1)的方程为v(
14、n+1)=a(n+1)a(n)(8)式中:a(n)=a 0(n)a 1(n);a(n+1)=a0(n+1)a1(n+1)为待求系数。第 n+1 期新增沉降观测数据为 yn+1，相应权为pn+1，可建立观测误差方程为vn+1=1f(tn+1)a(n+1)yn+1(9)将式(8)与式(9)联立，得误差方程式为321铁道学报第 45 卷v(n+1)vn+1=E1f(tn+1)a(n+1)a(n)yn+1(10)式中:E 为二阶单位阵，E=1001。根据最小二乘法，可得当前预测模型系数的最优估值为a(n+1)=E1f(tn+1)TW(n)00pn+1E1f(tn+1)1E1f(tn+1)TW(n)00
15、pn+1a(n)yn+1T(11)相应的权阵为W(n+1)=E1f(tn+1)TW(n)00pn+1E1f(tn+1)(12)于是，高效更新后的沉降预测模型为y=a 0(n+1)+a 1(n+1)f(t)(13)在上述方法中，历史观测数据对模型的影响已全部映射到预测模型的系数估值及其权阵中，利用序贯平差理论更新预测模型，已间接利用了历史观测数据。因此，该方法具有不需存储历史观测数据，计算量小，更新出错概率低等优点。2.2相关系数递推算法沉降预测模型的评价过程中，相关系数是个比较重要的指标17-18，式(5)所示的传统相关系数计算过程需要使用全部历史数据，因此需推导与高效更新法相应的相关系数计算
16、公式。首先需要获取一些参数的初始值。参照前文所述，基于前 m(m2)期数据拟合沉降预测模型，得到相关系数 m，同步计算 m 期 f(t)的算术平均值 fm(t)和 m 期 y 的算术平均值 ym。令 k1(m)、k2(m)分别为 m期 f(t)、y 的离差平方和，其计算式为k1(m)=mi=1f(ti)fm(t)(14)k2(m)=mi=1(yiym)2(15)自 m+1 期起，即可利用递推公式更新模型的相关系数，同样以第 n+1(nm)期数据为例，导出相关系数递推公式。已知基于前 n 期数据的预测模型相关系数 n，以及算术平均值 fn(t)与n+1i=1 f(ti)fn+1(t)(yiyn+1)=nk1(n)k2(n)+nyf+f(tn+1)fn+1(t)(yn+1yn+1)、离差平方和 k1(n)、k2(n)，新增第 n+1 期观测值yn+1，相关系数为n+1=n+1i=1f(ti)fn+1(t)yiyn+1()k1(n+1)k2(n+1)(16)其中，离差平方和 k1(n+1)可化为k1(n+1)=n+1i=1f(ti)fn+1(t)2=ni=1f(ti)fn(t)+fn(t)f