1、复合材料科学与工程：.基于蚁群算法的变刚度层合板角度优化分析张桂明，沈志强，祖 磊，王华毕，张 骞，夏献钊，耿洪波，潘 杰，邹李清（.合肥工业大学 机械工程学院，合肥；.航空结构件成形制造与装备安徽省重点实验室，合肥；.内蒙古航天红岗机械有限公司，呼和浩特；.中国商飞复合材料中心，上海）摘要：为了对变刚度复合材料层合板进行刚度分析，基于微分求积法（）对层合板振动方程进行离散单元化处理，从而便于进行频率分析。同时，将基频作为振动的重要研究参数，将蚁群算法（）与 联合使用，通过蚁群算法随机生成初始角度，从而实现在进化迭代过程中对 计算所得的频率值进行改进。分析结果表明：通过 的进化迭代过程，可以很
2、好地对铺层始末角进行选择优化。通过信息素的逐代更新，并对 进行适当改进，实现最终角度收敛，寻找到最优铺层始末角为.，对应频率值为 。同时对数据进行统计，表明初始角主要集中在、和 附近；终止角分布较为松散，但主要集中在 附近。关键词：蚁群算法；微分求积法；变刚度；频率；角度分布；复合材料中图分类号：文献标识码：文章编号：（），（.，；.，；.，；.，）：，（），（），.，：；收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（，）作者简介：张桂明（），男，博士，讲师，主要从事复合材料缠绕成型工艺方面的研究。通讯作者：祖磊（），男，博士，教授，主要从事复合材料力学与结构设计方面的研究，.。年第 期基于蚁群算
3、法的变刚度层合板角度优化分析 碳纤维作为一种高模量、高强度及较强设计性的复合材料，在民生等领域得到了广泛的应用。作为代表，复合材料层合板在航空领域已得到长足发展及实际使用。同时为了更进一步发挥碳纤维的高性能，以及克服传统层合板的铺层角度固定化，层合板的设计逐步从单一刚度设计过渡至变刚度设计。层合板变刚度的实现主要通过以下四种方式：改变局部纤维体积分数；增加部分区域层合板层数；在部分区域增加加强筋；改变纤维铺设角度方式。如图 所示。但由于前三种方法会改变层合板的物理外形并使刚度下降，因此实际应用较少，使得变角度铺层在理论研究和实际应用中获得了长足的进步。等提出曲线纤维的概念，将其应用在打孔层合板
4、中，对其拉伸性能和屈曲性能进行了深入研究，结果表明曲线铺放效果更佳。等制造了变刚度层合板，并进行力学性能测试，结果表明变刚度层合板相对于传统定角度层合板的承载能力有所提高。等提出了一种以分层参数为设计变量的两级优化框架，并将其应用至变角度层合板中，进行了后屈曲性能的优化。等克服了纤维角和纤维轨迹函数的非凸性，以层合板铺层参数作为设计变量，提出了一种解决变刚度层合板优化问题的方法，并对边长为.的正方形变刚度层合板进行了双轴压缩实验，结果表明变刚度层合板的临界屈曲载荷比定角度层合板提高了。等提出一种基于拉格朗日多项式的方法来定义纤维角在、方向上的分布，同时基于瑞利里兹法对不同边界条件的屈曲载荷进行
5、分析，并通过 进行有限元仿真模拟。等基于微分求积法（简称）对变角度层合板进行了振动和频率分析，研究表明角度的变化和长宽比都会对频率有所影响。等基于基本的理论分析，并借助、和实际实验及模拟仿真，探究了纤维重叠与间隙对变刚度层合板的屈曲行为影响。在国内，黄威等利用一种“以直代曲”的数值解法求解铺丝轨迹，并根据相关标准探讨了丝束曲率半径与铺放角度的关系；同时研究表明轨迹曲率半径会影响刚度体现。李亮等制造了变角度层合板，并进行锤击法实验，结果表明变角度层合板在减振性能方面优于传统定角度层合板，同时表明变角度层合板的减振设计更加灵活。聂国隽和王洋等基于弹性薄板的小挠度理论建立了变角度层合板的自由振动方程
6、，并通过微分求积法求解了振动频率和振型。牛雪娟等利用流体力学中流场函数概念构造了变刚度层合板丝束铺放轨迹，并通过优化目标函数对变刚度通孔层合板的应力进行了详析。富宏亚等基于分段二次 曲线建立了分段式变角度数学模型，在压缩模式下以一阶屈曲载荷为基准对变角度层合板进行了屈曲性能的分析。图 复合材料层合板 种变刚度方式.目前变刚度层合板的性能体现主要在频率和阻尼方面。刚度的提升会带来一阶频率值的提升。因此为了能够使刚度最大化，本文将以变刚度层合板的铺层角度为研究对象，使用蚁群算法建立优化流程，并依据 法进行频率求解，从而建立基于蚁群算法对变刚度层合板的频率分析模型，并对角度分布进行探讨。变角度层合板
7、振动理论分析根据经典纤维曲线铺放角的参考路径，纤维铺放角沿 轴做线性变化从而生成各点处铺放角。并定义层合板堆叠方向为 轴。具体如图 和公式（）所示。（）（）（）（）式中：为纤维曲线路径轨迹函数；（）为任意 处 年 月复合材料科学与工程铺放角；为纤维的初始角；为纤维终止角。当 时，（），即此时为传统直线层合板。（）变角度层合板三维图（）变角度层合板俯视图图 变角度层合板视图.由经典层合板理论知，层合板的本构关系为：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）式中：、为层合板中面合成弯矩和扭矩；、为层合板中面弯曲率和扭曲率；（）为弯曲刚度矩阵，即：（）（）（）（）式中：为铺层总数；、为第 层单层板上下
8、表面 轴坐标；为偏轴模量矩阵，表达式为。（）式中：（）；（）；为正轴模量矩阵，表达式见式（）。（）式中：、为纵、横向弹性模量；为面内剪切模量；、为纵、横向泊松比。由式（）、式（）和式（）可知，由于 与 轴坐标值有关，且、也与 有关，因此实际上、也是一个关于 的函数表达式。根据弹性薄板的小挠度理论知，振动平衡微分方程为：（）式中，、为板的密度和总厚度。将式（）至式（）代入式（）得：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）对于边界条件，取四边简支，则：，（）（）（），（）（）（）（）由式（）可知，这是一个位移函数 关于、的偏微分方程，且含有弯曲刚度矩阵 关于 的导数，直接求解较
9、为困难。下面用微分求积法（）对上述方程进行求解。年第 期基于蚁群算法的变刚度层合板角度优化分析 微分求积法的应用微分求积法的实质是一种数值分析求解，将节点函数解用所有节点的导数值及函数值的加权求和表达。对于难求方程精确解的微分方程，可以通过数值解来描绘方程的图像。对于二维函数（，），其在矩形区域内（，）对、分别存在、阶导数，则可得：（）（）联立可得 （）（）（）式中：，；，。、为定义域内、方向上网点数。下面对一阶权系数矩阵（）进行求解。对于非对角元素，可由式（）求解；对角元素，可由式（）求解。（），（）（），（）（，且）（）（），（）（，）（）对于二阶或更高阶权系数矩阵（），其表达式可由式（）
10、求解。（）（）（）（）（）权系数 矩阵同理，这里不再赘述。设层合板长宽比 。并取位移函数：（，）（，）（）式中：为振动频率；（，）为层合板振型函数。为方便后续比较，对数据进行无量纲化处理：（）（）（）将式（）至式（）代入式（）中可得离散化微分方程，表达式为：（）（）（，）（）（）（，）（）（）（）（）（，）（）（）（）（，）（）（）（）（，）（）（）（，）（）（）（，）（）（）（）（）（，）（）（）（）（，）（）（）（，）（）（）（，）（）（）（）（，）（，）（）式中：，；，。对于边界条件，则可以采用 法来进行处理，如图 所示。即：，；，时，（，）（，）（，）（，）（）式中：，；，。；。（）（
11、）（，）（）（）（，）（）（）（）（，）（）（）（）（，）（）（）（，）（）（）（）（，）（）式（）中：，；，。式（）中：，；，。年 月复合材料科学与工程图 法示意图.联立式（）至式（），并将图 中最外圈与次外圈节点定义为向量，最内圈节点为向量，用矩阵形式表达即为：（）式中：为（）维列向量；为（）（）维列向量；和 分别为（）、（）（）阶方阵。消去式（）中，可得关于和 的特征方程为：（）（）求解式（），即得变刚度层合板无量纲振动频率和振型函数。蚁群算法的引入.合理性判断依据上述基本数学理论和，根据离散化的切比雪夫节点表达式来确定相应节点坐标取值，见式（）所示。，（）将式（）所求值代入式（）至式（
12、），再将计算结果代入式（）即得最终解。为判定计算结果是否合理，将参数同文献一致，材料为，.，计算结果与文献进行对比分析。分别取、进行计算，并于表 列出了四边简支定角度层合板前 阶无量纲化频率对比。表 四边简支层合板无量纲频率对比表（）（）角度模式阶次参考文献目前计算 参考文献目前计算 从表 可知，本文计算数据与文献所得结果无较大差异，因此可认为本文的算法模型是合理的。同时从表 和图 曲线中可以发现，当 或 时，可以实现较小的误差，而当 时，见图 浅色曲线所示，存在相对较大误差，因此从计算成本角度考虑，可令，从而得到计算结果。图 前 阶无量纲频率对比图.蚁群算法的应用蚁群算法（简称）是模拟自然界
13、蚂蚁从洞穴寻找到离食物最短路径的一种算法，在求解旅行 年第 期基于蚁群算法的变刚度层合板角度优化分析最短路径问题时具有较大优势。其主要包括两部分：路径构建和信息素更新。为了将 与 联立使用，抽象出简单的数学模型。（）优化模型确立由式（）可知，通过改变层合板每一层铺层角度，可以实现无量纲振动频率的改变。而刚度越大，第一阶频率就会越大，因此可建立数学模型为：（）（，），（）式中：为组成的向量化角度；，分别定义为第 层的初始角和终止角。但文献表明，从制造角度而言，曲率半径 会影响层合板的屈曲性能。曲率半径过小会使得纤维在铺放过程中出现褶皱和架桥现象。因此在本文实验条件下，依据文献提供的常曲率铺放线型
14、，测试 宽纤维束所能允许的最小曲率半径。常曲率线型特征是曲率保持一致，故在测试过程中可以很好地测试曲率变化敏感度。常曲率线型函数如式（）所示。实验结果如图 所示。（）（）图 曲率测试实验.从图 中可知，当曲率半径 小于 时，纤维褶皱架桥现象较为严重。而在 时，整条纤维路径较为平滑。因此可以认为此时较佳的曲率半径为 。但由于此次铺放只是一条纤维的单层铺放，因此为了保证实际铺放层合板的表面光滑，取：（）已知曲率半径公式见式（）：（）（）联立式（）和式（）求得纤维曲线路径的最小曲率半径为：（）（）（）根据式（）可知，在计算过程中，需保证：（）综上所述，为求得式（）的最大值，需要通过式（）反求得最佳铺
15、层始末角，同时满足式（）的曲率半径限制要求，在迭代过程中舍弃非合理始末角。（）编码方式蚁群算法通过建立起“城市”的概念，将蚂蚁走过的路径串联起来。因此为方便将铺层数、铺层始末角与“城市”概念建立起联系，将铺层数定义为“城市”，铺层始末角定义为“城市”的“街道”，通过选择不同“城市”的“街道”，实现最短距离，即最大首阶频率值。具体示意图如 所示。图 蚁群算法运动方式示意图.对于共有 层铺层的层合板，则共有 个始末角，即有 个“城市”，个变量。文献研究表明对称铺层的层合板基频较佳，则变量可减为 个。同时每层铺层角度取值范围为，即有 个“街道”。与传统 相比，层合板中的蚂蚁在行进过程中，逐层选取“街
16、道”，当行进到最后一个变量后，蚂蚁不再回到起点“街道”，从而结束此次搜寻结果。（）信息素更新蚁群在进行路径选择时，主要依靠信息素的含量。同时信息素在迭代过程中，会存在挥发的现象，因此蚂蚁行进的路径可以对信息素的挥发进行一定的弥补与更新。同时在信息素更新时，采用常量更新法的局部信息素更新，可降低蚂蚁选择同一路径的概率；采用目标函数值评估分析法的全局信息素更新，可以很好地实现全局搜索到最优值，防止出 年 月复合材料科学与工程现局部收敛。第 只蚂蚁在路径行进后，选择的路径信息素局部更新：（，）（）（，）（）式中，为局部信息素挥发率。当某代所有蚂蚁行进完路径后，需对全程最优解的蚂蚁的路径进行信息素全局更新，降低局部收敛的可能性。（，）（）（，）（）其中：（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）式中：为全局信息素挥发率；为初设阈值；、为常数；为全局最优解在迭代过程中变化率的表征量；为迭代次数；（）为第 次迭代求得的全局最优解；为，间的随机数。（）路径选择根据路径信息素的含量，蚂蚁来选择下一目的地。在进行路径选择时，可根据式（）和（）选择适当路径。（，）（）式中，（，）表示信息素（，）值取最